Question

已知拋物線y＝x²－2x－3與x軸交于兩點A、B(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C，頂點為M，P是線段BM上的一個動點(點P不與B、M重合)，作PQ⊥x軸于點Q．

(1)設(shè)OQ的長為t，四邊形PQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在線段BM上是否存在點N，使△MNC為等腰三角形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

簡解：(1)易求得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，M(1，－4)，直線BM的解析式為y－2x－6(上圖)． 　　因點P在線段BM上，OQ的長為t，設(shè)P(t，2t－6)， 　　∴PQ＝|2t－6|＝6－2t． 　　(注意：點P在第四象限，它的縱坐標2t－6＜0，其絕對值6－2t為線段PQ的長．) 　　∴S＝S△ADC＋S梯形OCPQ 　　＝×1×|－3|＋[|－3|＋(6－2t)]·t 　�。剑璽2＋t＋(1＜t＜3)． 　　(2)設(shè)線段BM上存在點N，使△MNC為等腰三角形． 　　設(shè)N(m，2m－6)， 　　∴CM2＝12＋12＝2． 　　MN2＝(m－1)2＋[4－(6－2m)]2． 　　{注意：2m－6是點N的縱坐標，其絕對值6－2m為點N到x軸所作垂線段的長，這是點N的縱坐標(2m－6)與它到x軸的垂線段的長(6－2m)之間的轉(zhuǎn)化．讀者自己畫圖根據(jù)勾股定理得出上述三式，其中第二式也可寫成CN2＝m2＋[(6－2m)－3]2．} 　　若CN＝CM，則 　　m2－[3－(6－2m)]2＝2． 　　解得m＝1(舍)或m＝． 　　當m＝時，2m－6＝－， 　　∴N1(，－)． 　　[想一想：進行線段的長的計算時，為什么用(6－2m)？計算點N的縱坐標時，為什么用(2m－6)]？ 　�、谌鬋M＝MN，③若CN＝MN，類似①可求得N2(1＋，－4)，N3(2，－2)． 　　點評：象限內(nèi)的點的坐標與線段的長的轉(zhuǎn)化，不容忽視的基礎(chǔ)知識是：第一象限內(nèi)的點的橫、縱坐標均為正；第二象限內(nèi)的點的橫坐標為負，縱坐標為正；第三象限內(nèi)的橫、縱坐標均為負；第四象限內(nèi)的橫坐標為正，縱坐標為負．這在解題過程中需加倍注意． 　　點的坐標與線段的長之間的轉(zhuǎn)化，用到的基礎(chǔ)知識雖然簡單，但卻很容易發(fā)生錯誤，主要愿因是忽視用字母(或含字母的代數(shù)代)表示點的坐標時點在坐標平面的位置，以致誤把負數(shù)當作正數(shù)進行運算．認真體味以上題目，為解決相關(guān)題目可起到啟示作用． 　　分析：先確定A、B、C、M及P、Q的位置，再探求S、t之間的函數(shù)關(guān)系式及點N的坐標．