Question

【題目】拋物線過點和，點P為x軸正半軸上的一個動點，連接AP，在AP右側作，且，點B經過矩形AOED的邊DE所在的直線，設點P橫坐標為t．

求拋物線解析式；

當點D落在拋物線上時，求點P的坐標；

若以A、B、D為頂點的三角形與相似，請直接寫出此時t的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：；（2）；（3）當、時，以A、B、D為頂點的三角形與相似．

【解析】

將、兩點坐標代入拋物線，運用待定系數(shù)法即可求得解析式，然后根據(jù)對稱軸公式求得即可；

先求得的坐標，進而求出點的坐標，然后將代入中求出的拋物線的解析式，即可求出的值；

由于時，點與點重合，不存在，所以分和兩種情況進行討論，在每一種情況下，當以A、B、D為頂點的三角形與相似時，即：以A、B、D為頂點的三角形與相似，進而又分兩種情況：∽與∽，根據(jù)相似三角形對應邊的比相等列出比例式，求解即可．

解：由題意得，

解得．

故拋物線的解析式為：；

，

，

易證，∽，

，

，

，，

，

，，

．

假設在拋物線上，有，

解得或，

，

，

即當時，點D落在拋物線上．

當時，如圖1，

，，，，

若∽，

∽

∽，

，即，

化簡得，此時t無解．

若∽，

∽，

∽，

，即，化簡得：，

解得：．

，

．

當時，如圖2，

若∽，

，，，，

∽，

∽，

，即，

化簡得，，

解得負根舍去．

∽，

∽，同理，此時t無解．

綜合上述：當、時，以A、B、D為頂點的三角形與相似．