Question

【題目】如圖1，在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l與x、y軸分別交于點(diǎn)A（4，0）、B（0， ）兩點(diǎn)，∠BAO的角平分線交y軸于點(diǎn)D．點(diǎn)C為直線l上一點(diǎn)，以AC為直徑的⊙G經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且與x軸交于另一點(diǎn)E．
（1）求證：y軸是⊙G的切線；
（2）請(qǐng)求⊙G的半徑r，并直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)F為⊙G上的一點(diǎn)，連接AF，且滿足∠FEA=45°，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)？

Answer 1

【答案】
（1）解：連接GD，

∵∠OAB的角平分線交y軸于點(diǎn)D，

∴∠GAD=∠DAO，

∵GD=GA，

∴∠GDA=∠GAD，

∴∠GDA=∠DAO，

∴GD∥OA，

∴∠BDG=∠BOA=90°，

∵GD為半徑，

∴y軸是⊙G的切線；

（2）解：∵A（4，0），B（0， ），

∴OA=4，OB= ，

在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB= ，

設(shè)半徑GD=r，則BG= ﹣r，

∵GD∥OA，

∴△BDG∽△BOA，

∴ = ，

∴ r=4（ ﹣r），

∴r= ；

∴C的坐標(biāo)為（1，4）

（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF于H，連接CE、CF，

∵AC是直徑，

∴AC=2× =5

∴∠AEC=∠AFC=90°

∵∠FEA=45°

∴∠FCA=45°

∴在Rt△AEH中，

由勾股定理可知：AF=CF= ，

設(shè)OE=a

∴AE=4﹣a

∵CE∥OB

∴△ACE∽△ABO

∴ =

∴CE=

∵CE2+AE2=AC2，

∴ （4﹣a）2+（4﹣a）2=25

∴a=1或a=7（不合題意，舍去）

∴AE=3

∴在Rt△AEH中，

由勾股定理可得，AH=EH= ，

∴在Rt△AEH中，

由勾股定理可知：FH2=AF2﹣AH2= ﹣ =8，

∴FH=2 ，

∴EF=EH+FH= ．

【解析】（1）要證明y軸是⊙G的切線，只需要連接GD后證明GD⊥OB即可．（2）由（1）可知GD∥OA，則△BDG∽△BOA，設(shè)半徑為r后，利用對(duì)應(yīng)邊的比相等列方程即可求出半徑r的值．（3）由于∠FEA=45°，所以可以連接CE、CF構(gòu)造直角三角形．由于要求的EF是弦，所以過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF，然后利用垂徑定理即可求出EF的長(zhǎng)度．