Question

已知：如圖，直徑為10的⊙M交x軸于A、B兩點，圓心M的坐標為(3，0)，⊙M與y軸的負半軸交于點C，拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過點C，且與x軸交于D、E兩點，A點在此拋物線的對稱軸上．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在x軸的正半軸上是否存在點P，使以點P、O、C為頂點的三角形與△AOC相似？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由；

(3)判斷過D、G兩點的直線與⊙M的位置關系，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(4分)如圖，連結MC， 　　∵⊙M的直徑為10 　　∴MC＝5， 　　在Rt△MOC中，MC＝5，OM＝3 　　OC＝＝4 　　∴C(0，－4) 　　而拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點C 　　∴c＝－4 　　又∵拋物線的對稱軸經(jīng)過點A(－2，0) 　　 　　∴拋物線的解析式為 　　 　　(2) 　　(3分)答：存在． 　　設點P的坐標為(xP，0) 　　∵點A的坐標為A(－2，0) 　　由△COP∽△AOC 　　 　　即：xP＝8 　　∴點P1的坐標為(8，0) 　　由△POC∽△AOC 　　有 　　OP＝AO＝2 　　∴點P2的坐標為(2，0) 　　∴點P的坐標為(8，0)或(2，0)． 　　(3)(5分) 　　解法一：答：過C、D兩點的直線與⊙M相切． 　　過C、D兩點作直線CD，連接CM 　　∵拋物線y＝x2＋x－4與x軸交于D、E兩點， 　　∴令x2＋x－4＝0 　　解得：x1＝，x2＝． 　　∴點D的坐標為(，0) 　　 　　∴CD2＋CM2＝DM2 　　即：△CMD是直角三角形 　　∴∠DCM＝90°，由MC是⊙M的半徑知： 　　過C、D兩點的直線與⊙M相切． 　　解法二：答：過C、D兩點的直線與⊙M相切． 　　過C、D兩點作直線CD，連接CM 　　∵拋物線y＝x2＋x－4與x軸交于D、E兩點， 　　令x2＋x－4＝0 　　解得：x1＝，x2＝ 　　∴點D的坐標為(，0)，點E的坐標為(，0) 　　在△DOC和△COM中 　　∠DOC＝∠COM＝90° 　　 　　∴△DOC∽△COM(兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似) 　　∴∠MCO＝∠ODC 　　而∠ODC＋∠OCD＝90° 　　∴∠MCO＋∠OCD＝90° 　　∴∠DCM＝90°，由MC是⊙M的半徑知：過C、D兩點的直線與⊙M相切．