Question

如圖①，M、N點分別在等邊三角形的BC、CA邊上，且BM=CN，AM、BN交于點Q．
（1）求證：∠BQM=60°；
（2）如圖②，如果點M、N分別移動到BC、CA的延長線上，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給予證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再根據(jù)“SAS”可判斷△ABM≌△BCN，則∠BAM=∠CBN，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BQM=∠ABQ+∠BAQ，于是有∠BQM=∠ABQ+∠QBM=∠ABM=60°；
（2）與（1）的證明方法一樣可得到△ABM≌△BCN，則∠M=∠N，∠BQA=∠N+∠NAQ，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BCA=∠M+∠CAM，然后利用∠NAQ=∠CAM得到∠BQA=∠BCA=60°．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM和△BCN中

AB=BC ∠ABM=∠C BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠ABQ+∠BAQ，
∴∠BQM=∠ABQ+∠QBM=∠ABM=60°；

（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：
與（1）的證明方法一樣可證明△ABM≌△BCN，
∴∠M=∠N，
∵∠BQA=∠N+∠NAQ，∠BCA=∠M+∠CAM，
而∠NAQ=∠CAM，
∴∠BQA=∠BCA=60°，
即∠BQM=60°．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°；等邊三角形三邊都相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)．