Question

（2013•莘縣二模）如圖，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上且BE平分∠DBC，O是BD中點(diǎn)，直線BE、DG交于H．BD，AH交于M，連接OH，下列四個(gè)結(jié)論：
①BE⊥GD；②OH=

1

2

BG；③∠AHD=45°；④GD=

2

AM，
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①由已知條件可證得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因?yàn)椤螧DC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正確；
②由①可以證明△BHD≌△BHG，就可以得到DH=GH，得出OH是△BGD的中位線，從而得出結(jié)論．
③若以BD為直徑作圓，那么此圓必經(jīng)過A、B、C、H、D五點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的結(jié)論也是正確的．
④此題要通過相似三角形來解；由②的五點(diǎn)共圓，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根據(jù)相似三角形的比例線段即可得到AM、DG的比例關(guān)系；

解答：解：解：①正確，證明如下：
∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，
∴△BEC≌△DGC，∴∠EBC=∠CDG，
∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，
∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正確；
②∵BE平分∠DBC，
∴∠DBH=∠GBH．
∵BE⊥GD，
∴∠BHD=∠BHG=90°．
在△BHD和△BHG中

∠DBH=∠GBH BH=BH ∠BHD=∠BHG

，
∴△BHD≌△BHG（ASA），
∴DH=GH．
∵O是BD中點(diǎn)，
∴DO=BO．
∴OH是△BDG的中位線，
∴OH=

1

2

BG，故②正確；
③由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五點(diǎn)都在以BD為直徑的圓上；
由圓周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故③正確；
④由②知：A、B、C、D、H五點(diǎn)共圓，則∠BAH=∠BDH；
又∵∠ABD=∠DBG=45°，
∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：

2

，即DG=

2

AM；
故④正確；
∴正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用、正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用以及圓周角定理等知識的綜合應(yīng)用，能夠判斷出A、B、C、D、H五點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵．