Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與y軸相交于點C（O，1），x₁，x²是方程ax²+bx+c=x的兩個根，且x₁=-x²．點A（x₁，0）在點B（x²，0）的左邊，以AB為直徑的圓交y軸于C，D兩點．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于E點，連接CE并延長交圓于F點，求EF的長；
（3）過D點作圓的切線交直線CB于點P，判斷點P是否在拋物線上，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點C（0，1），
∴c=1，
又∵x₁、x₂是方程ax²+（b-1）x+c=O的兩個根，且x₁=-x₂，
∴x₁+x₂=0，b=1，
由x₁=-x₂知O為圓點，
∴OA=OB=OC，
∴x₁=-1，x₂=1，x₁•x₂=-1，a=-1，
∴拋物線y=ax²+bx+c的解析式為y=-x²+x+1；

（2）∵y=-x²+x+1=-（x-）²+，
∴拋物線y=-x²+x+1的對稱軸是x=，
∴E點的坐標(biāo)為（，0），
∴CE=，AE=，BE=，
由相交弦定理，得CE•EF=AE•BE，
∴EF=；

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b
點B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，1），K=-1b=1
∴直線BC的解析式為y=-x+1．
由圓的對稱性可知點D的坐標(biāo)為（O，-1）．顯然，⊙O的切線DP∥x軸，
∴直線DP上的所有點的縱坐標(biāo)都為-1．把y=-1代入y=-x+1，得x=2；
∴點P的坐標(biāo)為（2，-1）．
將x=2，y=-1代入y=-x²+x+1得：左邊=右邊．
∴點P在拋物線上．
分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點C（0，1）求得c的值，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求得兩根之和，進(jìn)而確定a的值，從而確定函數(shù)的解析式；
（2）將函數(shù)y=-x²+x+1=-（x-）²+后，得到其對稱軸，從而確定點E的坐標(biāo)，在圓中利用相交弦定理求得EF的長即可；
（3）先根據(jù)B、C兩點的坐標(biāo)求得直線BC的解析式，然后根據(jù)圓的對稱性求得點D的坐標(biāo)，得到直線DP上的所有點的縱坐標(biāo)都為-1．并據(jù)此求得點P的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式坐標(biāo)=右邊，從而得到點P在拋物線上．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，解題的關(guān)鍵是正確的利用圓的對稱性等知識，成功的將圓的知識與二次函數(shù)的知識結(jié)合起來．