Question

【題目】（（2016北京市）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），且，，若P，Q為某個矩形的兩個頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”．下圖為點(diǎn)P，Q 的“相關(guān)矩形”的示意圖．

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．

①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）求點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積；

②點(diǎn)C在直線x=3上，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的表達(dá)式；

（2）⊙O的半徑為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，3）．若在⊙O上存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①2；② 或 ；（2）1≤m≤5 或者．

【解析】

試題分析：（1）①由相關(guān)矩形的定義可知：要求A與B的相關(guān)矩形面積，則AB必為對角線，利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出該矩形的底與高的長度，進(jìn)而可求出該矩形的面積；

②由定義可知，AC必為正方形的對角線，所以AC與x軸的夾角必為45，設(shè)直線AC的解析式為；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；

（2）由定義可知，MN必為相關(guān)矩形的對角線，若該相關(guān)矩形的為正方形，即直線MN與x軸的夾角為45°，由因?yàn)辄c(diǎn)N在圓O上，所以該直線MN與圓O一定要有交點(diǎn)，由此可以求出m的范圍．

試題解析：（1）①∵A（1，0），B（3，1），由定義可知：點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的底與高分別為2和1，∴點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積為2×1=2；

②由定義可知：AC是點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”的對角線，又∵點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，∴直線AC與x軸的夾角為45°，設(shè)直線AC的解析為：y=x+m或y=﹣x+n，把（1，0）分別y=x+m，∴m=﹣1，∴直線AC的解析為：y=x﹣1，把（1，0）代入y=﹣x+n，∴n=1，∴y=﹣x+1，綜上所述，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，直線AC的表達(dá)式為y=x﹣1或y=﹣x+1；

（2）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，∵點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，∴由定義可知：直線MN與x軸的夾角為45°，∴k=±1，∵點(diǎn)N在⊙O上，∴當(dāng)直線MN與⊙O有交點(diǎn)時，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，當(dāng)k=1時，作⊙O的切線AD和BC，且與直線MN平行，其中A、C為⊙O的切點(diǎn)，直線AD與y軸交于點(diǎn)D，直線BC與y軸交于點(diǎn)B，連接OA，OC，把M（m，3）代入y=x+b，∴b=3﹣m，∴直線MN的解析式為：y=x+3﹣m．∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，∴OD=OA=2，∴D（0，2）；

同理可得：B（0，﹣2），∴令x=0代入y=x+3﹣m，∴y=3﹣m，∴﹣2≤3﹣m≤2，∴1≤m≤5，當(dāng)k=﹣1時，把M（m，3）代入y=﹣x+b，∴b=3+m，∴直線MN的解析式為：y=x+3+m，同理可得：﹣2≤3+m≤2，∴﹣5≤m≤﹣1；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形時，m的取值范圍是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．