Question

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求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．

解：設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，將等式兩邊同時乘以2得：

   2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴

   將下式減去上式得2S﹣S=2²⁰¹⁴﹣1

   即S=2²⁰¹⁴﹣1

   即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴﹣1

請你仿照此法計算：

（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰

（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n為正整數(shù)）．

Answer 1

 解：（1）設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，

將等式兩邊同時乘以2得2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，

將下式減去上式得：2S﹣S=2¹¹﹣1，即S=2¹¹﹣1，

則1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹﹣1；…………………………1分

（2）設(shè)S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，

兩邊乘以3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ+3ⁿ⁺¹，

下式減去上式得：3S﹣S=3ⁿ⁺¹﹣1，∴2S=3ⁿ⁺¹﹣1

即S=(3ⁿ⁺¹﹣1)，

則1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=（3ⁿ⁺¹﹣1）．…………………………2分