如圖1,在直角梯形ABCD中,∠C=90°,CD=8cm,動點(diǎn)P、Q同時從B出發(fā),速度都是1cm/s,點(diǎn)P沿BA、AD、DC運(yùn)動到點(diǎn)C停止,點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動到C點(diǎn)停止.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到A點(diǎn)時,點(diǎn)Q恰好運(yùn)動到C點(diǎn).設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動的時間為t(s)時,△BPQ的面積為y(cm2).已知點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動時y與t的函數(shù)圖象是圖2中的線段MN.
作業(yè)寶
(1)BC=______cm,BA=______cm,AD=______cm,點(diǎn)M的坐標(biāo)為______.
(2)P在CD邊上運(yùn)動時,是否存在時刻t,△PAB的周長最�。咳舨淮嬖�,請說明理由.
(3)△PCD能否成為等腰三角形?若能,直接寫出t值;若不能,請說明理由.
(4)分別求出P在BA邊上和DC邊上運(yùn)動時y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍),并在圖2中補(bǔ)全整個運(yùn)動中y與t的函數(shù)圖象.

解:(1)如圖1.設(shè)動點(diǎn)P出發(fā)t秒后,點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A且點(diǎn)Q正好到達(dá)點(diǎn)C時,BC=BA=t,
則S△BPQ=BC•CD=×t×8=40,
所以t=10(秒),
則BC=BA=10cm,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(10,40).
過點(diǎn)A作AH⊥BC于H,則四邊形AHCD是矩形,
∴AD=CH,CD=AH=8cm,
在Rt△ABH中,∵∠AHB=90°,AB=10cm,AH=8cm,
∴BH==6cm,
∴CH=BC-BH=4cm,
∴AD=4cm;

(2)如備用圖1,延長AD到A′,使A′D=AD,連接A′B,交CD于P,
則PA+PB=PA′+PB=A′B最�。�
∵A′D∥BC,
∴△A′DP∽△BCP,
=,即=
解得DP=,
∴BA+AD+DP=10+4+=,
∴t=÷1=
故P在CD邊上運(yùn)動時,存在時刻t=秒,能夠使△PAB的周長最�。�

(3)△PCD為等腰三角形時,分三種情況:
①如果PC=PD,如備用圖2,作CD的垂直平分線交AB于P1,則P1為AB的中點(diǎn),此時t1=BP1÷1=5;
②如果CP=CD=8,如備用圖3,以C為圓心,CD長為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)P2,過P2作P2E⊥BC于E,過點(diǎn)A作AH⊥BC于H.
設(shè)BP2=x,則P2E=BP2•sin∠B=x•=x,BE=BP2•cos∠B=x,
∴CE=BC-BE=10-x.
在Rt△P2EC中,∵∠P2EC=90°,
∴P2E2+CE2=CP22,(x)2+(10-x)2=64,
整理,得x2-12x+36=0,
解得x1=x2=6,
∴BP2=6,t2=BP2÷1=6;
③如果DP=DC,如備用圖4,以D為圓心,CD長為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)P3,過P3作P3F⊥AD于F.
設(shè)AP3=y,則P3F=AP3•sin∠FAP3=AP3•sin∠B=y•=y,AF=AP3•cos∠B=y,
∴DF=DA+AF=4+y.
在Rt△P3FD中,∵∠P3FD=90°,
∴P3F2+DF2=DP32,(y)2+(4+y)2=64,
整理,得5y2+24y-240=0,
解得y1=,y2=(不合題意舍去),
∴BP3=AB-AP3=10-=,t3=BP3÷1=;
綜上所述,△PCD能成為等腰三角形,此時t的值為5秒或6秒或秒;

(4)當(dāng)點(diǎn)P在BA邊上時,
y=×t×tsinB=t2×=t2(0≤t≤10);
當(dāng)點(diǎn)P在DC邊上時,
y=×10×(22-t)=-5t+110(14≤t≤22);
如圖2所示.
分析:(1)P在AD邊上運(yùn)動時,△BPQ以BQ為底邊,以CD長為高,因此可根據(jù)△BPQ的面積為40cm2求出BC=10cm,而P、Q速度相同,P到A的時間與Q到C的時間相同,因此BA=BC=10cm,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(10,40).求AD的長可通過構(gòu)建直角三角形來求解.過A作AH⊥BC與H,那么在直角三角形ABH中,AH=CD=8cm,BA=10cm,因此可根據(jù)勾股定理求出BH=6cm,那么AD=BC-BH=4cm;
(2)△PAB的周長=PA+AB+PB,而AB=10cm為定值,所以當(dāng)PA+PB最小時,△PAB的周長最小.延長AD到A′,使A′D=AD,連接A′B,交CD于P,此時PA+PB最小.由△A′DP∽△BCP,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求解;
(3)△PCD為等腰三角形時,分三種情況進(jìn)行討論:①PC=PD;②CP=CD;③DP=DC;
(4)△BQP中,BQ=t,BP=t,以BQ為底邊的高可用BP•sin∠B來表示,然后可根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式得出關(guān)于y,t的函數(shù)關(guān)系式.
點(diǎn)評:本題是四邊形綜合題,主要考查了梯形的性質(zhì),三角形的面積,解直角三角形,相似三角形的判定與性質(zhì),軸對稱-最短路線,等腰三角形的性質(zhì)等知識,綜合性較強(qiáng),有一定難度.借助函數(shù)圖象表達(dá)題目中的信息,讀懂圖象是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖1,在直角梯形ABCD中,動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BC,CD運(yùn)動至點(diǎn)D停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x,△ABP的面積為y,如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示,則△BCD的面積是(  )
A、3B、4C、5D、6

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

閱讀理解:如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠APD=90°時,易證△ABP∽△PCD,從而得到BP•PC=AB•CD,解答下列問題.
(1)模型探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠B=∠C=∠APD時,求證:BP•PC=AB•CD;
(2)拓展應(yīng)用:如圖3,在四邊形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于點(diǎn)O,以O(shè)為頂點(diǎn),以BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P為線段OC上一動點(diǎn)(不與端點(diǎn)O、C重合)
(i)當(dāng)∠APD=60°時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(ii)過點(diǎn)P作PE⊥PD,交y軸于點(diǎn)E,設(shè)PO=x,OE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

27、如圖1,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn),且DF=BE.容易證得:CE=CF;
(1)在圖1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,試猜想GE、BE、GD三線段之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)在(1)的條件下,若以C為圓心,CD為半徑作圓,試判斷此圓與直線EG的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)運(yùn)用(1)中解答所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識,完成下題:
如圖2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一點(diǎn),且∠DCE=45°,BE=4,求DE的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,DC∥AB,動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿折線B→C→D→A運(yùn)動,點(diǎn)P運(yùn)動的速度為2個單位長度/秒,若設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為x秒,△ABP的面積為y,如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示,則△ABC的面積為( �。�
精英家教網(wǎng)
A、16B、48C、24D、64

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥DC,BC=10cm,CD=6cm.有兩個動點(diǎn)E、F分別在線段CD與BC上運(yùn)動,點(diǎn)E以每秒1cm的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)D勻速運(yùn)動.點(diǎn)F以每秒2cm的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C勻速運(yùn)動;當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.
(1)求AD的長;
(2)設(shè)四邊形BFED的面積為y,求y 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(3)點(diǎn)E、F在運(yùn)動過程中,如果由點(diǎn)C、E、F構(gòu)成的三角形與△BDC相似,求線段BF的長.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案