正三角形ABC,AB=2,點D、E分別在AC,BC上且DE∥AB、DE=
3
.將△CDE繞點C順時針旋轉得到△CD′E′(如圖D′,E′分別與點D,E對應),E′正好在AB上,D′E′與AC相交于點M.
(1)則∠AC E′=
30°
30°
;
(2)求證:四邊形ABC D′是梯形;
(3)求△AD′M的面積.
分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質求出DE等于△ABC的高,從而得到CE′是△ABC的高,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質解答;
(2)先求出△CDE是等邊三角形,再根據(jù)等邊三角形的性質求出∠ACE′=∠ACD′,然后判斷出AC是D′E′的垂直平分線,根據(jù)線段垂直平分線的性質求出∠CAD′=CAE′=60°,然后求出∠CAD′=∠ACB,再根據(jù)內錯角相等,兩直線平行判斷出AD′∥BC,然后根據(jù)梯形的定義證明即可;
(3)先求出∠CMD′=90°,再根據(jù)等邊三角形的性質求出CM、MD′的長,再根據(jù)直角三角形的面積公式列式計算即可得解.
解答:(1)解:∵等邊△ABC的邊長AB=2,
∴高線=2×
3
2
=
3
,
∵△CDE旋轉后點E的對應點E′正好在AB上,
∴CE′是△ABC的高,
∴∠ACE′=
1
2
∠ABC=
1
2
×60°=30°;

(2)證明:∵DE∥AB,
∴△CDE也是等邊三角形,
∵△CDE繞點C順時針旋轉得到△CD′E′,
∴∠ACD′=60°-30°=30°,
∴∠ACE′=∠ACD′,
∴AC是D′E′的垂直平分線,
∴∠CAD′=CAE′=60°,
∴∠CAD′=∠ACB,
∴AD′∥BC,
由圖可知,AB與CD′不平行,
∴四邊形ABC D′是梯形;

(3)解:∵∠ACD′=30°,∠CD′E′=60°,
∴∠CMD′=80°-30°-60°=90°,
∵DE=
3

∴CM=
3
×
3
2
=
3
2
,D′M=
1
2
D′E′=
3
2

又∵AC=2,
∴AM=2-
3
2
=
1
2

∴△AD′M的面積=
1
2
AM•D′M=
1
2
×
1
2
×
3
2
=
3
8
點評:本題考查了旋轉的性質,等邊三角形的判定與性質,梯形的判定,以及三角形的面積的求解,熟練掌握等邊三角形的性質,高線與邊長的關系是解題的關鍵.
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