(2013•閘北區(qū)二模)已知:如圖,在⊙O中,M是弧AB的中點,過點M的弦MN交弦AB于點C,設(shè)⊙O半徑為4cm,MN=4
3
cm,OH⊥MN,垂足是點H.
(1)求OH的長度;
(2)求∠ACM的度數(shù).
分析:(1)連接MO交弦AB于點E,由OH⊥MN,O是圓心,根據(jù)垂徑定理得到MH等于MN的一半,然后在直角三角形MOH中利用勾股定理即可求出OH;
(2)由M是弧AB的中點,MO是半徑,根據(jù)垂徑定理得到OM垂直AB,在直角三角形OHM中,根據(jù)一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條這條直角邊所對的角為30度,即角OMH等于30度,最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出角ACM的度數(shù).
解答:解:連接MO交弦AB于點E,
(1)∵OH⊥MN,O是圓心,
∴MH=
1
2
MN,
又∵MN=4
3
cm,
∴MH=2
3
cm,
在Rt△MOH中,OM=4cm,
∴OH=
OM2-MH2
=
42-(2
3
)
2
=2(cm);

(2)∵M是弧AB的中點,MO是半徑,
∴MO⊥AB           
∵在Rt△MOH中,OM=4cm,OH=2cm,
∴OH=
1
2
MO,
∴∠OMH=30°,
∴在Rt△MEC中,∠ACM=90°-30°=60°.
點評:此題考查了垂徑定理,勾股定理,以及含30°角的直角三角形,熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵.
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4
3
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