Question

以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓周上的點，且OC²=AC•BC，則∠CAB=________．

Answer 1

75°或15°
分析：根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求得∠ACB=90°；又有三角形的面積公式：面積=底×高、面積=absinC，及已知條件OC²=AC•BC，求得sin∠AOC=；分類討論：當(dāng)∠AOC=30°時，∠COB=180°-30°=150°；當(dāng)∠AOC=150°時，∠COB=180°-150°=30°；由同弧所對的圓周角是圓心角的一半求得∠CAB=∠COB．
解答：解：∵AB為直徑，C是半圓周上的點，
∴∠ACB=90°，0A=OB=OC，
∴S_△ABC=AC•BC，
S_△AOC=S_△ABC；
又∵OC²=AC•BC，
∴OC²=2•OC²sin∠AOC，
∴sin∠AOC=；
當(dāng)∠AOC=30°時，∠COB=180°-30°=150°
∠CAB=∠COB=75°（同弧所對的圓周角是圓心角的一半）；
當(dāng)∠AOC=150°時，∠COB=180°-150°=30°
∠CAB=∠COB=15°（同弧所對的圓周角是圓心角的一半）．
故答案為：75°或15°．
點評：本題綜合考查了圓周角定理、三角形的面積公式及特殊角的三角函數(shù)值．解答這類題一些學(xué)生不會綜合運用所學(xué)知識解答問題，不知從何處入手造成錯解．