Question

已知：如圖①，△ABC是等邊三角形，四邊形BDEF是菱形，其中DF=DB，連接AF、CD．
（1）觀察圖形，猜想AF與CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不必證明；
（2）將菱形BDEF繞點B 按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使菱形BDEF的一邊落在等邊△ABC內(nèi)部，在圖②中畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，請問：（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，AF、CD所夾銳角的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請你求出它的度數(shù)，并說明你的理由；若改變，請說明它的度數(shù)是如何變化的．

Answer 1

（本小題滿分7分）
解：（1）AF=CD．

（2）變換后的菱形BDEF如圖，結(jié)論AF=CD仍然成立．

理由：在等邊△ABC中，AB=BC，
在菱形BDEF中，BF=BD．
∵DF=DB，∴DF=DB=BF．
∴∠FBD=∠ABC=60°．
∴∠FBD-∠1=∠ABC-∠1．
即∠2=∠3．
∴△ABF≌△CBD．
∴AF=CD．

（3）不變化；60°．
設(shè)CD與AF交于點O，與AB交于點G，
由（2）知：∠BAF=∠BCD，
又∠AGO=∠CGB，
∴∠AOC=∠ABC=60°．
即AF與CD所夾銳角始終為60°．
分析：（1）根據(jù)△AFB≌△CDB可以得到兩線段相等；
（2）圖形變化后一般情況下結(jié)論不變，在此基礎(chǔ)上進一步證明兩個三角形全等即可得到正確的結(jié)論；
（3）設(shè)CD與AF交于點O，與AB交于點G，證得∠AOC=∠ABC=60°即可．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量，從而為證明全等提供必要的條件．