Question

如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫(huà)半圓，分別交AB、AC于點(diǎn)E、D，DF是圓的切線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)F作BC的垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)G．若AF的長(zhǎng)為2，則FG的長(zhǎng)為（ ）

A．4
B．
C．6
D．

Answer 1

【答案】分析：連接OD，由DF為圓的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到OD垂直于DF，根據(jù)三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到三條邊相等，三內(nèi)角相等，都為60°，由OD=OC，得到三角形OCD為等邊三角形，進(jìn)而得到OD平行與AB，由O為BC的中點(diǎn)，得到D為AC的中點(diǎn)，在直角三角形ADF中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)，即為AB的長(zhǎng)，由AB-AF求出FB的長(zhǎng)，在直角三角形FBG中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BG的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出FG的長(zhǎng)．
解答：解：連接OD，
∵DF為圓O的切線(xiàn)，
∴OD⊥DF，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵OD=OC，
∴△OCD為等邊三角形，
∴OD∥AB，
又O為BC的中點(diǎn)，
∴D為AC的中點(diǎn)，即OD為△ABC的中位線(xiàn)，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，
∴AD=4，即AC=8，
∴FB=AB-AF=8-2=6，
在Rt△BFG中，∠BFG=30°，
∴BG=3，
則根據(jù)勾股定理得：FG=3．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．