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如圖一,在△ABC中,分別以AB,AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓,其中分別為兩個半圓的圓心. F是邊BC的中點,點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.

(1)連結(jié),證明:;

(2)如圖二,過點A分別作半圓和半圓的切線,交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q,連結(jié)PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線段PQ的長;

(3)如圖三,過點A作半圓的切線,交CE的延長線于點Q,過點Q作直線FA的垂線,交BD的延長線于點P,連結(jié)PA. 證明:PA是半圓的切線

 

 

(1)證明略

(2)

(3)證明略

解析:(1)證明:如圖一,∵,,F(xiàn)分別是AB,AC,BC邊的中點,

F∥AC且F =A,F∥AB且F =A,

∴∠BF=∠BAC,∠CF=∠BAC,

∴∠BF=∠CF

∵點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點,

F =A=E,F =A=D,       ……………………….2分

∠BD =90°,∠CE =90°,

∴∠BD=∠CE.

∴∠DF=∠FE.

.                 ………………………….3分

(2)解:如圖二,延長CA至G,使AG=AQ,連接BG、AE.

∵點E是半圓圓弧的中點,

∴AE=CE=3

∵AC為直徑

∴∠AEC=90°,

∴∠ACE=∠EAC =45°,AC==,

∵AQ是半圓的切線,

∴CA⊥AQ,∴∠CAQ=90°,

∴∠ACE=∠AQE=45°,∠GAQ=90°   

∴AQ=AC=AG=

同理:∠BAP=90°,AB=AP=

∴CG=,∠GAB=∠QAP

.                                              ……………………..5分

∴PQ=BG

∵∠ACB=90°,

∴BC==

∴BG==

∴PQ=.                 …………………..6分

(3) 證法一:如圖三,設(shè)直線FA與PQ的垂足為M,過C作CS⊥MF于S,過B作BR⊥MF于R,連接DR、AD、DM.

∵F是BC邊的中點,∴.

∴BR=CS,

由(2)已證∠CAQ=90°,AC=AQ,

∴∠2+∠3=90°

∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°,

∴∠1=∠3,

同理:∠2=∠4,

∴AM=CS,

∴AM=BR,

同(2)可證AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°,

∴∠ADB=∠ARB=90°, ∠ADP=∠AMP=90°

∴A、D、B、R四點在以AB為直徑的圓上,A、D、P、M四點在以AP為直徑的圓上,

且∠DBR+∠DAR=180°,

∴∠5=∠8, ∠6=∠7,

∵∠DAM+∠DAR=180°,

∴∠DBR=∠DAM

∴∠5=∠9,

∴∠RDM=90°,

∴∠5+∠7=90°,

∴∠6+∠8=90°,

∴∠PAB=90°,

∴PA⊥AB,又AB是半圓直徑,

∴PA是半圓的切線.                ……………………..8分

證法二:假設(shè)PA不是是半圓的切線,如圖四,

過點A作半圓的切線交BD的延長線于點,則點異于點P,連結(jié),設(shè)直線FA與PQ的垂足為M,直線FA與的交點為.延長AF至N,使得AF=FN,連結(jié)BN,CN,由于點F是BC中點,所以四邊形ABNC是平行四邊形.

易知,

∵AQ是半圓的切線,

∴∠QAC=90°,同理.

.

.

由(2)可知,,

.

.

,

.

即  .

.

即  .

,

∴ 過點Q有兩條不同的直線同時與AF垂直.

這與在平面內(nèi)過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直相矛盾,

因此假設(shè)錯誤.所以PA是是半圓的切線.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖一,在△ABC中,分別以AB,AC為直徑在△ABC外作半圓O1和半圓O2,其中O1和O2分別為兩個半圓的圓心.F是邊BC的中點,點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.
(1)連接O1F,O1D,DF,O2F,O2E,EF,證明:△DO1F≌△FO2E;
(2)如圖二,過點A分別作半圓O1和半圓O2的切線,交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q,連接PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線段PQ的長;
(3)如圖三,過點A作半圓O2的切線,交CE的延長線于點Q,過點Q作直線FA的垂線,交BD的延長線于點P,連接PA.證明:PA是半圓O1的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖一,在△ABC中,分別以AB,AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓,其中分別為兩個半圓的圓心. F是邊BC的中點,點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.

1.連結(jié),證明:;

 

 

2.如圖二,過點A分別作半圓和半圓的切線,交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q,連結(jié)PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線段PQ的長;

 

 

3.如圖三,過點A作半圓的切線,交CE的延長線于點Q,過點Q作直線FA的垂線,交BD的延長線于點P,連結(jié)PA. 證明:PA是半圓的切線.

 

 

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞剧洴楠炴﹢鎳犻澶嬓滈梻浣规偠閸斿秶鎹㈤崘顔嘉﹂柛鏇ㄥ灠閸愨偓濡炪倖鍔﹀鈧紒顔煎缁辨挻鎷呴幓鎺嶅濠电姰鍨煎▔娑㈩敄閸曨厽宕查柛鈩冪⊕閻撳繘鏌涢锝囩畺闁革絾妞介弻娑㈡晲閸涱喛纭€缂備浇椴哥敮锟犲箖閳哄懏顥堟繛鎴炲笚閻庝即姊绘担鍛婃儓闁活剙銈稿畷浼村冀椤撶姴绁﹂梺纭呮彧缁犳垹绮诲☉銏♀拻闁割偆鍠撻埊鏇熴亜閺傚灝顏慨濠勭帛閹峰懘宕ㄦ繝鍌涙畼濠电儑绲藉ú锕€顪冩禒瀣櫜闁绘劖娼欑欢鐐烘煙闁箑鍔﹂柨鏇炲€归悡鏇㈡煛閸ャ儱濡奸柣蹇曞У娣囧﹪顢曢敐蹇氣偓鍧楁煛鐏炲墽娲撮柍銉畵楠炲鈹戦崶鈺€澹曠紓鍌氬€风粈渚€顢栭崨顖涘床闁圭増婢橀悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿﹦鍏橀弻銈囧枈閸楃偛顫梺鍛婃煥閹诧紕鎹㈠☉姘e亾濞戞瑡缂氶柣顓滃€曢湁婵犲﹤绨肩花缁樸亜閺囶亞绋荤紒缁樼箓椤繈顢橀悢鍓蹭户闂傚倷鑳剁划顖涚仚闁诲繐绻戦悷鈺佺暦閹扮増鍊烽柣鎴炃氶幏娲煟鎼粹剝璐″┑顔炬暬婵℃挳宕橀埡鈧换鍡涙煟閹邦厽缍戞繛鎼枟椤ㄣ儵鎮欏顔煎壉濡炪倧濡囨晶妤呭箚閺冨牊鏅查柛銉╊棑鎼村﹪姊婚崒娆掑厡缂侇噮鍨跺畷婵嬫晝閸屾氨顦┑鐐叉閹稿摜绮堟径鎰厪闁割偅绻冮ˉ鎾趁瑰⿰鍕煁闁靛洤瀚伴獮妯兼崉閻╂帇鍨介弻娑樜熼搹瑙勬喖濡炪們鍔婇崕鐢稿箖濞嗘挸绠甸柟鐑樻尰椤斿嫰姊洪崜褏甯涢柣妤冨█瀵鈽夊Ο閿嬵潔闂佸憡顨堥崑鐐烘倶閸喓绠鹃悗鐢登归宀勬煕濞嗗繐鏆欐い顐㈢箻閹煎綊宕烽鐙呯床婵犳鍠楅〃鍛涘▎鎾村仼闁割偅娲橀埛鎴犵磽娴g櫢渚涙繛鍫熸閺屻劑寮撮妸銈夊仐闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺灥婵悂鏌f惔锛勭暛闁稿骸宕灋鐎光偓閸曨偆顔嗗┑鐐叉▕娴滄繈鍩涢幋锔界厱婵炴垶锕崝鐔虹磼閻樿櫕宕岄柟顔筋殔椤繈鎮℃惔锛勭潉闂備浇妗ㄧ粈浣虹矓閻熼偊鍤曟い鏇楀亾鐎规洘甯掗オ浼村椽閸愵亜绨ラ梻鍌氬€风粈渚€骞栭銈嗗仏妞ゆ劧绠戠壕鍧楁煙閹澘袚闁稿鏅滅换娑橆啅椤旇崵鍑归梺缁樻尰缁嬫垿婀侀梺鎸庣箓閹冲繘骞夐幖浣告瀬闁割偅鎯婇弮鍫熷亹闂傚牊绋愮划璺衡攽閻愬弶鈻曢柛娆忓暣婵″瓨绗熼埀顒€顕f禒瀣垫晣闁绘劙娼ч獮鎰版⒒娴e憡鍟為柛鏃€鍨垮畷婵嗩吋婢跺鈧爼鏌涢鐘插姕闁稿﹦鏁婚幃宄扳枎韫囨搩浠剧紓浣插亾闁告劏鏂傛禍婊堟煏婵炲灝鍔甸棅顒夊墯椤ㄣ儵鎮欑拠褑鍚悗娈垮枙缁瑩銆佸鈧幃娆撴濞戞ḿ顔囬梻鍌氬€风粈渚€骞夐敓鐘茬闁硅揪绠戠粈澶愬箹濞n剙濡肩痪鎯х秺閺屻劑鎮ら崒娑橆伓

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖一,在△ABC中,分別以AB,AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓,其中分別為兩個半圓的圓心. F是邊BC的中點,點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.
【小題1】連結(jié),證明:;

【小題2】如圖二,過點A分別作半圓和半圓的切線,交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q,連結(jié)PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線段PQ的長;

【小題3】如圖三,過點A作半圓的切線,交CE的延長線于點Q,過點Q作直線FA的垂線,交BD的延長線于點P,連結(jié)PA. 證明:PA是半圓的切線.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖一,在△ABC中,分別以AB,AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓,其中分別為兩個半圓的圓心. F是邊BC的中點,點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.

(1)連結(jié),證明:;
(2)如圖二,過點A分別作半圓和半圓的切線,交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q,連結(jié)PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線段PQ的長;

(3)如圖三,過點A作半圓的切線,交CE的延長線于點Q,過點Q作直線FA的垂線,交BD的延長線于點P,連結(jié)PA. 證明:PA是半圓的切線

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