Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.

（Ⅰ)探究新知：

如圖① ⊙O是△ABC的內切圓，與三邊分別相切于點E、F、G..

（1）求證內切圓的半徑r₁=1;

（2）求tan∠OAG的值；

（Ⅱ）結論應用

（1）如圖②若半徑為r₂的兩個等圓⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O₂與BC、AB相切，求r₂的值；

（2）如圖③若半徑為r_n的n個等圓⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O_n與BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n均與AB相切，求r_n的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ)探究新知（1）證明見解析（2）1/2（Ⅱ）結論應用（1）（2）

【解析】解：（Ⅰ）（1）證明：在圖①中，連接OE，OF。

                 ∵點E、F、G是⊙O的切點

                 ∴四邊形CEOF是正方形， CE=CF=r₁。

又∵AC=3，BC=4，AB=5，

∴AG=AE=3－r₁，BG=BF=4－r₁，AG+BG=5。

∴（3－r₁）＋（4－r₁）=5，解得r₁=1。

（2）連接OG，OA在Rt△AOG中，∵OG=r₁=1， AG= 3－r₁=2，

∴tan∠OAG=。

（Ⅱ）

（1）連接O₁A、O₂B，作O₁D⊥AB交于點D、O₂E⊥AB交于點E。

則 AO₁、BO₂分別平分∠CAB、∠ABC。

由（Ⅰ）tan∠OAG=，知tan∠O₁AD=，

同理可得：tan∠O₂BE=。           

                ∴AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂。

∵AD＋DE＋BE=5，∴。

（2）如圖③，

連接O₁A、O_nB，作O₁D⊥AB交于點D、O₂E⊥AB交于點E、…、O_nF⊥AB交于點F。 則AO₁、BO₂分別平分∠CAB、∠ABC。

tan∠O₁AD=，tan∠O_nBF=,

               ∴AD=2r_n，DE=2r_n，…,FB=3r_n。

又∵AD+DE+…+FB=5，2r_n+2r_n+…+3r_n=5，即(2n+3) r_n=5，

∴。

（Ⅰ）（1）由切線的性質可得四邊形CEOF是正方形，從而由AG=AE=3－r₁，BG=BF=4－r₁，AG+BG=5可證得內切圓的半徑r₁=1。

（2）根據銳角三角函數定義直接求得。

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）的結論得tan∠O₁AD=，同理可推得tan∠O₂BE=，從而由AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂和AD＋DE＋BE=5可求得r₂的值。

（2）由（Ⅱ）（1）有tan∠O₁AD=，tan∠O_nBF=,從而由AD=2r_n，DE=2r_n，…,FB=3r_n和AD+DE+…+FB=5，2r_n+2r_n+…+3r_n=5可求得r_n的值。