Question

（2012•菏澤）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，△ABC和△DEF的頂點都在格點上，P₁，P₂，P₃，P₄，P₅是△DEF邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：
（1）試證明三角形△ABC為直角三角形；
（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；
（3）畫一個三角形，使它的三個頂點為P₁，P₂，P₃，P₄，P₅中的3個格點并且與△ABC相似（要求：不寫作法與證明）．

Answer 1

分析：（1）利用網格得出AB²=20，AC²=5，BC²=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；
（2）利用AB=2

5

，AC=

5

，BC=5以及DE=4

2

，DF=2

2

，EF=2

10

，利用三角形三邊比值關系得出即可；
（3）根據△P₂P₄ P₅三邊與△ABC三邊長度得出答案即可．

解答：解：（1）∵AB²=20，AC²=5，BC²=25；
∴AB²+AC²=BC²，
根據勾股定理的逆定理得△ABC 為直角三角形；

（2）△ABC和△DEF相似．
由（1）中數據得AB=2

5

，AC=

5

，BC=5，
DE=4

2

，DF=2

2

，EF=2

10

．

AB

DE

=

AC

DF

=

BC

EF

=

5

2 2

=

10

4

，
∴△ABC∽△DEF．

（3）如圖：連接P₂P₅，P₂P₄，P₄P₅，
∵P₂P₅=

10

，P₂P₄=

2

，P₄P₅=2

2

，
AB=2

5

，AC=

5

，BC=5，
∴

P2P5

BC

=

P4P5

AB

=

P2P4

AC

=

10

5

，
∴，△ABC∽△P₂P₄ P₅．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理與逆定理應用，根據已知得出三角形各邊長度是解題關鍵．