Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸分別交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求此二次函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，試判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Ｐ，使得ＰC+ＰA最短？若Ｐ點(diǎn)存在，求出Ｐ點(diǎn)的坐標(biāo)；若Ｐ點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）△BCD為直角三角形；（3）存在．P（2，1）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；
（2）利用配方法及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出CD、BD、BC的長(zhǎng)，由BC2+BD2=CD2可證出△BCD為直角三角形；

（3）由（1）知該拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=2的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接BC，則直線BC與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．求出BC所在直線解析式，求出x=2時(shí)y的值，進(jìn)而得出答案.

（1）將A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：

，解得：，

∴此二次函數(shù)解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）△BCD為直角三角形，理由如下：

∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣1）．

當(dāng)x=0時(shí)，y=x2﹣4x+3=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

∴BC==3，

BD=，

CD==2．

∵BC2+BD2=20=CD2，

∴∠CBD=90°，

∴△BCD為直角三角形．

(3)存在．

由（1）知該拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，

點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=2的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接BC，則直線BC與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．

令直線BC的解析式為y=kx+b，代入點(diǎn)C（0，3）和點(diǎn)Ｂ（3，0），

得，

解得．

所以直線BC的解析式為y=-x+3．

當(dāng)x=2時(shí)，y=-2+3=1，

所以點(diǎn)P（2，1）．