Question

如圖，已知拋物線y=ax²+b經(jīng)過點(diǎn)A（4，4）和點(diǎn)B（0，-4）．C是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）將點(diǎn)A繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)D在拋物線上時(shí)，求出所有滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，4）和點(diǎn)B（0，-4），
∴，解得：，
∴拋物線的解析式為：；…（3分）

（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，連接AB交x軸于點(diǎn)E，
OB=AE=4，∠MOB=∠AEM=90°，∠OMB=∠AME，
∴在△OMB與△EMA中，
∴
∴△OMB≌△EMA，
∴MB=MA，OM=ME=，
∴以M為圓心，MB為半徑的⊙M，即為以AB為直徑的圓．
由勾股定理得 ，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，．

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)（4，0）的右側(cè)時(shí)，
作AE⊥x軸于E，DF⊥x軸于F，
∵△ACD為等腰直角三角形，
∴AC=DC，∠ACD=90°，即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠FDC，
又∵∠DFC=∠AEC=90°，
在△DFC與△CEA中，

∴△DFC≌△CEA，
∴EC=DF，F(xiàn)C=AE，
∵A（4，4），
∴AE=OE=4，
∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，
∴OF=CE，
∴OF=DF，
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)（4，0）的重合時(shí)，點(diǎn)D與原點(diǎn)重合；
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)（4，0）的左側(cè)時(shí)，同理可得OF=DF；
∴綜上所述，點(diǎn)D在直線y=-x的圖象上．
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m-4，4-m），（13分）
又∵點(diǎn)D在拋物線的圖象上，
∴，
解得：m₁=0，m₂=6，
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）或（0，0）時(shí)，
點(diǎn)D落在拋物線的圖象上．
分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，4）和點(diǎn)B（0，-4），利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可．
（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，連接AB交x軸于點(diǎn)E，得到△OMB≌△EMA后得到MB=MA，OM=ME=，然后求得線段MB的長后即可表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）分點(diǎn)C在點(diǎn)（4，0）的右側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)（4，0）的左側(cè)時(shí)兩種情況分類討論即可確定答案．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別是題目中涉及到的分類討論的數(shù)學(xué)思想更是中考中的高頻考點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．