Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分線分別交AD于E，G兩點，CE，BG相交于點O

(1)求證：AG=DE.

(2)已知AB=4，AD=5，

①求的值.

②求四邊形ABOE的面積與△BOC的面積之比.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①=；②S四ABOE：S△OBC=23：25.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出∠ABG=∠AGB，得出AG=AB，同理可證DE=DC，推出AG=DE即可解決問題．

（2）①求出EG的值，利用平行線的性質(zhì)即可解決問題．

②連接OA．設(shè)△AEP的面積為S．求出四邊形ABOE，△OBC的面積即可解決問題．

解：(1)∵BG平分∠ABC，CE平分∠BCD

∴∠ABG=∠CBG,∠BCE∠DCE

∵AD∥BC

∴∠CBG=∠AGB,∠BCE=∠CED

∴AB=AG,CD=DE

∵AB=CD

∴AG=DE；

(2)①∵AB=4，AD=5

∴AG=DG=4，AE=AD -DE=1，GD=AD -AG=1

∴EG=AD-AE-DG=3

∵AD∥BC

∴==

②連接AO，設(shè)S△OEG=9a，

∵AD∥BC，

∴△OEG∽△OCB

∴S△OEG :S△OBC=9:25

∴S△OBC=25a

∵AE:EG=1:3

∴S△OAE : S△OEG=1:3

∴S△OAE =3a

∴S△OAG=12a

∵S△OAB : S△OAG=OB:OG=5:3

∴S△OAB=20a

∴S四ABOE=S△OAB+S△OAE =23a

∴S四ABOE : S△OBC=23a : 25a=23:25