Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如果BC=8，AB=5，求CE的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD．
∵OD=OB（⊙O的半徑），
∴∠B=∠ODB（等邊對等角）；
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等邊對等角）；
∴∠C=∠ODB（等量代換），
∴OD∥AC（同位角相等，兩直線平行），
∴∠ODE=∠DEC（兩直線平行，內錯角相等）；
∵DE⊥AC（已知），
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
∴AD⊥CD；
在Rt△ACD和Rt△DCE中，
∠C=∠C（公共角），
∠CED=∠CDA=90°，
∴Rt△ACD∽Rt△DCE（AA），
∴=；
又由（1）知，OD∥AC，O是AB的中點，
∴OD是三角形ABC的中位線，
∴CD=BC；
∵BC=8，AB=5，AB=AC，
∴CE=．
分析：（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可；
（2）連接AD構造直角三角形ACD，根據(jù)相似三角形的判定定理AA判定Rt△ACD∽Rt△DCE，然后由相似三角形的對應邊成比例得，=；最后根據(jù)三角形中位線的判定與性質求得CD的長度，從而求得CE的長．
點評：本題綜合考查了切線的判定與性質、圓周角定理、相似三角形的判定與性質以及三角形中位線的判定與性質．解答（2）時，還可以利用射影定理來求CE的長度．