Question

a為正整數．記號[2a+1，2a+2，2a+3]表示2a+1，2a+2，2a+3的最小公倍數，以N表示它，若2a+4整除N，求a．

Answer 1

分析：利用已知得出

(2a+1)(a+1)(2a+3)

a+2

一定是整數，利用整除的性質，得出一定有（2a+1）=k（a+2），或a+1=k（a+2）或2a+3=k（a+2）；k為正整數，結合不等式的性質得出a的值．

解答：解：∵2a+1，2a+2，2a+3的最小公倍數是N，
∴可得到：（2a+1）（a+1）（2a+3）=N，
又因為2a+4整除N，
∴

(2a+1)(a+1)(2a+3)

a+2

一定是整數，
∴一定有（2a+1）=k（a+2），或a+1=k（a+2）或2a+3=k（a+2）；
當（2a+1）=k（a+2），k為正整數，
∴（2-k）a=2k-1
a=

2-k

2k-1

，∵a為正整數，
∴2-k≥2k-1，∴k≤1，又∵k＞0，且為正整數，
∴k=1，代入上式得：a=1；
當a+1=k（a+2），k為正整數，
∴（1-k）a=2k-1
∴a=

2k-1

1-k

，∵a為正整數，
∴2k-1≥1-k，∴k≥

2

3

，
又∵（1-k）＞0，且為正整數，
∴k＜1，∴

2

3

≤k＜1．
∴沒有正整數k符合要求；
當2a+3=k（a+2），k為正整數，
∴（2-k）a=2k-3
∴a=

2k-3

2-k

，∵a為正整數，
∴2k-3≥2-k，∴k≥

5

3

又∵（2-k）＞0，且為正整數，
∴k＜2，∴

5

3

≤x＜2；
∴沒有正整數k符合要求．
綜上所述：a=1．

點評：此題主要考查了整數根的求法和最小公倍數的性質，以及不等式知識的綜合應用等知識．