Question

如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B′的位置，AB′與CD交于點(diǎn)E．
（1）試找出一個(gè)與△AED全等的三角形，并加以證明；
（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點(diǎn)，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG+PH的值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由折疊的性質(zhì)知，CB′=BC=AD，∠B=∠B′=∠D=90°，∠B′EC=DEA，則由AAS得到△AED≌△CEB′；
（2）延長(zhǎng)HP交AB于M，則PM⊥AB，PG=PM，PG+PH=HM=AD，∵CE=AE=CD-DE=8-3=5在Rt△ADE中，由勾股定理得到AD=4，∴PG+PH=HM=AD=4．
解答：解：（1）△AED≌△CEB′
證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，
又∵∠B′EC=∠DEA，
∴△AED≌△CEB′；

（2）由折疊的性質(zhì)可知，∠EAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC=8-3=5．
在△ADE中，AD=4，
延長(zhǎng)HP交AB于M，則PM⊥AB，
∴PG=PM．
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理求解．