Question

如圖所示，己知點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，以P為圓心的⊙P分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B和C、D，其中A（-3，0），B（1，0）．過(guò)點(diǎn)C作⊙P的切線交x軸于點(diǎn)E．
（1）求直線CE的解析式；
（2）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）第（2）問(wèn)中的拋物線的頂點(diǎn)是否在直線CE上，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）點(diǎn)F是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，問(wèn)m在什么范圍內(nèi)時(shí)，直線FB與⊙P相交？

Answer 1

【答案】分析：（1）從A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可知圓的半徑為2，那么PO=PB-OB=2-1=1，利用勾股定理可求得OC長(zhǎng)，可求得∠CPO=60°連接PC后，利用∠CP0的余弦值可得到PE長(zhǎng)．設(shè)出直線解析式，把C，E坐標(biāo)代入即可；
（2）用交點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)解析式，把C坐標(biāo)代入即可；
（3）求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入直線解析式，看函數(shù)值是否等于縱坐標(biāo)；
（4）應(yīng)先找到相切時(shí)，m的值．注意此時(shí)m的取值在0和3之間．
解答：解：（1）連接PC，OC==，
∵cos∠CPO=PO：PC=1：2
∴∠CPO=60°，
∴PE=4，
∴OE=3，
c（0，），E（3，0）．
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，
b=，3k+b=0，
解得k=-x，
∴y=+．

（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x-1）
∵點(diǎn)C（0，）在圖象上，
代入得a=
∴y=-（x+3）（x-1）．

（3）拋物線頂點(diǎn)為（-1，），
當(dāng)x=-1時(shí)，代入直線CE解析式y(tǒng)=，
故（2）中拋物線頂點(diǎn)在直線CE上．

（4）當(dāng)FB與OE垂直時(shí)，F(xiàn)B切⊙P于B，此時(shí)m=1．
而點(diǎn)F在線段CE其他位置時(shí)，F(xiàn)B都與⊙P相交．
故0≤m≤3且m≠1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
點(diǎn)在函數(shù)解析式上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)應(yīng)適合這個(gè)解析式；
過(guò)圓上一點(diǎn)的直線與圓的位置關(guān)系只有相切和相交兩種．