Question

【題目】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

（）如圖①，點(diǎn)和點(diǎn)均在⊙上，且，點(diǎn)和點(diǎn)均在射線上，若，則點(diǎn)與⊙的位置關(guān)系是__________；若，則點(diǎn)與⊙的位置關(guān)系是__________．

問(wèn)題解決：

如圖②，圖③所示，四邊形中， ， ， ，且， ，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)．

（）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度．

（）是否存在點(diǎn)，使得最大?若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（）點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外；（）或；（）當(dāng)有最大值時(shí)， 長(zhǎng)為．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外；

（2）以AD為斜邊等腰直角三角形AOD ，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O交BC于點(diǎn)E．在RtΔAOD中可計(jì)算OA=2，連接OP，則OP=PA=2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可求出BO=2，再進(jìn)而求出BC的值，確定點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；

（3）存在.

試題解析：（1）點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外；

（）以為斜邊等腰直角三角形，

以點(diǎn)為圓心， 為半徑作⊙交于點(diǎn)．

在中，∵，∴ ，

連接，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵， ，∴ ．

又∵，∴四邊形為矩形，

∴， ．

在中， ，

∴．

又∵經(jīng)計(jì)算，

∴符合條件的點(diǎn)有個(gè)．

的長(zhǎng)為或．

（）存在，作的中垂線，交于，交于，在上取點(diǎn)，

以為半徑作⊙，當(dāng)⊙與相切于點(diǎn)時(shí)， 最大．

理由:在上任取一點(diǎn)，連接， 交⊙于，連接，

∵是的外角，

∴，

連接，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

∵， ，∴ ，

∴和均為等腰直角三角形．

∴， ， ．

∵， ，

∵⊙與相切于點(diǎn)，

∴，∴ ，

又∵，

∴為等腰直角三角形．

∴設(shè)，則，

在中， ，

∴，

解得： （舍），，

∴，

∴當(dāng)有最大值時(shí)， 長(zhǎng)為．