Question

【題目】已知：如圖，邊長為1的正方形ABCD中，AC 、DB交于點H．DE平分∠ADB，交AC于點E．聯(lián)結BE并延長，交邊AD于點F．

（1）求證：DC=EC；

（2）求△EAF的面積．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質可得∠ADH=∠HDC=∠DCH=∠DAE=45°，由DE平分∠ADB，可得∠ADE=∠EDH，再由∠DAE+∠ADE=∠DEC，∠EDH+∠HDC=∠EDC，所以∠EDC=∠DEC，即可得DC=EC；（2）根據(jù)（1）的結論和勾股定理即可求得AC=， E= -1，在Rt△BHC中，求得BH= ，根據(jù)三角形的面積公式即可求得△BEC的面積，再由AD∥BC，可得△AFE∽△CBE，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求得△EAF的面積．

試題解析：

（1）∵正方形ABCD，

∴DC=BC=BA=AD，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°，AH=DH=CH=BH，AC⊥BD，

∴∠ADH=∠HDC=∠DCH=∠DAE=45°．

又∵DE平分∠ADB，

∴∠ADE=∠EDH，

∵∠DAE+∠ADE=∠DEC，∠EDH+∠HDC=∠EDC，

∴∠EDC=∠DEC，

∴DC=EC；

（2）∵正方形ABCD，

∴AD∥BC

，∴△AFE∽△CBE∴；

∵AB=BC=DC=EC=1，AC= ，

∴AE= ，

Rt△BHC中，BH= BC= ，

∴在△BEC中，BH⊥EC，,

∴，

∴.