Question

【題目】已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，作OF∥AB交BC于點F，連接EF．

（1）求證：OF⊥CE；

（2）求證：EF是⊙O的切線；

（3）若⊙O的半徑為3，∠EAC＝60°，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）由于AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據(jù)OF∥AB，得出OF⊥CE，
（2）得到OF所在直線垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結(jié)論．
（3）證出△AOE是等邊三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．

（1）如圖，連接CE，

∵是的直徑，∴，

∵，∴．

（2）∵OF⊥CE，

∴OF所在直線垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，

∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠OCE，

∵，即，

∴，即，

∴FE為的切線．

（3）如圖，∵⊙O的半徑為3，

∴AO=CO=EO=3，

∵，，∴，

∴，

∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴，

∵在中，，

，，

∴