Question

如圖，點O是等腰直角三角形ABC內一點，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．將△AOC繞直角頂點C按順時針方向旋轉90°得△BDC，連接OD．
（1）試說明△COD是等腰直角三角形；
（2）當α=95°時，試判斷△BOD的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△AOC繞直角頂點C按順時針方向旋轉90°得△BDC，
∴∠OCD=90°，CO=CD，
∴△COD是等腰直角三角形；

（2）△BOD為等腰三角形．
理由如下：
∵△COD是等腰直角三角形，
∴∠COD=∠CDO=45°，
而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，
∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，
∠BDO=95°-45°=50°，
∴∠OBD=180°-80°-50°=50°．
∴△BOD為等腰三角形．
分析：（1）由△AOC繞直角頂點C按順時針方向旋轉90°得△BDC，根據旋轉的性質得到∠OCD=90°，CO=CD，得到△COD是等腰直角三角形；
（2）由△COD是等腰直角三角形，得到∠COD=∠CDO=45°，而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，根據周角和互余即可求出
∠BOD和∠BDO，再根據三角形內角和定理可得到∠OBD，那么就可判斷△BOD的形狀．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等腰直角三角形的判定、三角形的內角和定理以及三角形的分類．