Question

10．若正實(shí)數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則a²+b²的最小值為（　�。�

• A． -7
• B． 2
• C． 9
• D． 18

Answer 1

分析 設(shè)a+b=m，則ab=m+3，a²+b²變形，再整體代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)求最小值，注意a、b正實(shí)數(shù)的條件的運(yùn)用．

解答 解：設(shè)a+b=m，則ab=m+3，
a、b可看作關(guān)于x的方程x²-mx+m+3=0的兩根，
a、b為實(shí)數(shù)，則△=（-m）²-4（m+3）≥0，
解得m≤-2或m≥6，而a、b為正實(shí)數(shù)，
∴a+b=m＞0，只有m≥6，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=m²-2（m+3）=（m-1）²-7，
可知當(dāng)m≥1時(shí)，a²+b²隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m=6時(shí)，a²+b²的值最小，為18．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)最值在確定代數(shù)式的值中的運(yùn)用．本題要注意：①根據(jù)已知條件換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，②a、b為正實(shí)數(shù)條件的運(yùn)用．