Question

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）若AC=BC，∠B：∠C=2：1，試寫出圖中的所有等腰三角形，并給予證明．
（2）若AB+BD=AC，求∠B：∠C的比值．

Answer 1

解：（1）等腰三角形有3個：△ABC，△ABD，△ADC，
證明：∵AC=BC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠BAC
∵∠B：∠C=2：1
∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°
∵∠BAD=∠DAC=∠BAC=36°
∴∠B=∠ADB=72°，
∴△ABD和△ADC是等腰三角形

（2）方法1：在AC上截取AE=AB，連接DE
又∠BAD=∠DAE，AD=AD
∴△ABD≌△ADE
∴∠AED=∠B，BD=DE
∵AB+BD=AC
∴BD=EC∴DE=EC
∴∠EDC=∠C
∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C
即∠B：∠C=2：1

方法2：延長AB到E，使AE=AC連接DE
證明△ADE≌△ADC
再類似證明得到∠B=2∠AED=2∠C
利用“截長法”或“補短法”添加輔助線，將AC-AB或AB+BD轉(zhuǎn)化成一條線段
分析：（1）利用AC=BC可直接得出△ABC是等腰三角形，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠ADB，∠DAC=∠C，即可得出△ABD和△ADC是等腰三角形．
（2）此題有2種方法，方法1：在AC上截取AE=AB，連接DE，求證△ABD≌△ADE，然后得到∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C即可得出答案；
方法2：延長AB到E，使AE=AC連接DE，利用“截長法”或“補短法”添加輔助線，將AC-AB或AB+BD轉(zhuǎn)化成一條線段即可．
點評：此題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題的（2）有兩種方法，不管學生用哪種方法解答，只要合理，就積極鼓勵表揚，激發(fā)他們的學習興趣．