Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF。
解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°。
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為______，數(shù)量關系為______ ；
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由；（畫圖不寫作法）
（3）若AC=，BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

解：（1）①垂直；相等； ②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立． 由正方形ADEF得，AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD， ∵∠BAC=90°， AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45°， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90°，即 CF⊥BD。
（2）畫圖正確，　　　　　　　 當∠BCA=45o時，CF⊥BD（如圖丁）， 理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC=AG， 可證：△GAD≌△CAF， ∴∠ACF=∠AGD=45o ，∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o， 即CF⊥BD。
（3）當具備∠BCA=45o時， 過點A作AQ⊥BC交BC的延長線于點Q，（如圖戊） ∵DE與CF交于點P時，∴此時點D位于線段CQ上， ∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4， 設CD=x， ∴DQ=4-x， 容易說明△AQD∽△DCP， ∴， ∴， ∴， ∵0＜x≤3， ∴當x=2時，CP有最大值1。