Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．a(chǎn)c＞0
B．當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小
C．2a-b=0
D．方程ax²+bx+c=0的兩根是x₁=-1，x₂=3

Answer 1

【答案】分析：由函數(shù)圖象可得拋物線開口向下，得到a小于0，又拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸，得到c大于0，進(jìn)而得到a與c異號，根據(jù)兩數(shù)相乘積為負(fù)得到ac小于0，選項(xiàng)A錯誤；由拋物線的對稱軸為直線x=1，得到對稱軸右邊y隨x的增大而減小，對稱軸左邊y隨x的增大而增大，故x大于0小于1時，y隨x的增大而增大，選項(xiàng)B錯誤；由拋物線的對稱軸為x=1，利用對稱軸公式得到2a+b=0，選項(xiàng)C錯誤；由拋物線與x軸的交點(diǎn)為（3，0）及對稱軸為x=1，利用對稱性得到拋物線與x軸另一個交點(diǎn)為（-1，0），進(jìn)而得到方程ax²+bx+c=0的兩根分別為-1和3，選項(xiàng)D正確．
解答：解：由二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象可得：拋物線開口向下，即a＜0，
拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸，即c＞0，
∴ac＜0，選項(xiàng)A錯誤；
由函數(shù)圖象可得：當(dāng)0＜x＜1時，y隨x的增大而增大；
當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)B錯誤；
∵對稱軸為直線x=1，∴-=1，即2a+b=0，選項(xiàng)C錯誤；
由圖象可得拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為（3，0），又對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為（-1，0），
則方程ax²+bx+c=0的兩根是x₁=-1，x₂=3，選項(xiàng)D正確．
故選D
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，以及拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)ax²+bx+c=0（a≠0），a的符合由拋物線的開口方向決定，c的符合由拋物線與y軸交點(diǎn)的位置確定，b的符合由a及對稱軸的位置決定，拋物線的增減性由對稱軸決定，當(dāng)拋物線開口向上時，對稱軸左邊y隨x的增大而減小，對稱軸右邊y隨x的增大而增大；當(dāng)拋物線開口向下時，對稱軸左邊y隨x的增大而增大，對稱軸右邊y隨x的增大而減小．此外拋物線解析式中y=0得到一元二次方程的解即為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．