Question

如圖1，以點(diǎn)O為圓心，半徑為4的圓交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)P為弧AC上的一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)CP交x軸于點(diǎn)E；連接PB，交OC于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)F為OC的中點(diǎn)，求PB的長(zhǎng)；

（2）求CP•CE的值；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)OH∥AP交PD于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)P在弧AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問(wèn)

AP

DH

的值是否保持不變；若不變，試證明，求出它的值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求PB的長(zhǎng)，連接AP，可以通過(guò)證明△ABP∽△BOF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出；
（2）求CP•CE的值，連接BC，CA，易證明AC=BC，得出∠CPB=∠EBC，再證明△BCP∽△ECB，得出比例的乘積形式即可；（3）

AP

DH

的值可以通過(guò)比例的形式，證明△CAP∽△ODH得出．

解答：（本題滿分8分）
解：（1）連接AP，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠APB=∠FOB=90°．
∵∠ABP=∠FBO，
∴△ABP∽△BOF．
∴

BP

OB

=

AB

BF

．（1分）
∵BF=

OF2+OB2

=2

5

，
∴

BP

4

=

8

2 5

．
∴BP=

16 5

5

．（2分）

（2）連接BC，
∵OC⊥AB，BC=

OC2+OB2

=4

2

，
∴

AC

=

BC

，
∴∠CPB=∠EBC．（3分）
∵∠BCP=∠BCE，
∴△BCP∽△ECB．
∴

BC

CP

=

CE

BC

．（4分）
∴BC²=CP•CE=32．（5分）

（3）

AP

DH

的值保持不變．（6分）
連接PC，AC，
∵OH∥AP，
∴∠APD=∠OHP=

1

2

∠AOD=45°．
∴∠CPA=∠OHD=135°．
又∵∠CAP=∠ODH，
∴△CAP∽△ODH．（7分）
∴

AP

DH

=

AC

OD

=

4 2

4

=

2

．
當(dāng)點(diǎn)P在弧AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

AP

DH

的值保持不變，

AP

DH

的值為

2

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，同時(shí)考查了平行線的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．