Question

已知：△ABC中，∠ACB=2∠ABC，AD為∠BAC的平分線，E為線段AC上一點，過E作AD的垂線交直線AB于F．

（1）當E點與C點重合時（如圖1），求證：BF=DE；
（2）連接BE交AD于點N，M是BF的中點，連接DM（如圖2），若DM⊥BF，DC=4，S_△ABD：S_△ACD=3：2，求DN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用等角對等邊即可證得AF=AE，則可以證明△AFD≌△AED，得到DF=DE，∠AFD=∠AED，根據(jù)則∠FBD=∠FDB，根據(jù)等角對等邊可以證得；、
（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到BD：DC=3：2，即可求得BD和AB的長度，然后根據(jù)角平分線的性質，以及三角形的面積公式得到AB：AC=3：2，然后根據(jù)（1）的結論可以得到AQ=AM，DC=BM，則=，求得AC、AB的長度，然后根據(jù)勾股定理，列方程即可求得PC的長，則根據(jù)勾股定理求得AD的長度，然后證明△DAE∽△DEN，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可求解．
解答：證明：（1）連接DF，設AD與EF交于點K，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AKF=∠AKE=90°，
∴∠AFK=∠AEK，
∴AF=AE，
則在△AFD和△AED中：
，
∴△AFD≌△AED，
∴DF=DE，∠AFD=∠AED，
又∵∠ACB=2∠ABC，
∴∠FBD=∠FDB，
∴BF=DF，
∴DE=BF；
（2）過A作AP⊥BC于點P，過D作DQ⊥AC于點Q．連接DF，
∵S_△ABD：S_△ACD=3：2，即=，
∴=，
∵DC=4，
∴BD=6
∵AD是∠BAC的平分線，DM⊥AB，DQ⊥AC，
∴DM=DQ，
∴=，
∴=，由（1）可得：AQ=AM，DC=BM，
∴AB=AC+DC，
∴=，
∴AC=8，AB=12，
設PC=x，則BP=10-x，又勾股定理得：AB²-BP²=AC²-PC²=AP²，
即12²-（10-x）²=8²-x²，解得：x=1，
∴DP=3，
又AD²-DP²=AC²-PC²=AP²，
∴AD²=72，AD=6，
∵EF⊥AD，
∴∠AKF=∠AKE=90°．
∵DA平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠AFE=∠AEF
∴AF=AE
在△AFD和△AED中：

∴△AFD≌△AED，
∴∠AFD=∠AED，DF=DE，
又∵DB=DF，
∴DB=DE=6，
∴∠BFD=∠DEC=∠DBF，
∴180°-∠C-∠DEC=180°-∠C-∠DBF，
∴∠EDC=∠BAC=2∠DAE，
又∵∠EDC=2∠NED，
∴∠DAE=∠NED，
∵∠ADE=∠EDN，
∴△DAE∽△DEN，
∴=，
∴DE²=DN•DA，即6²=DN•6，
∴DN=3．
點評：本題考查了勾股定理，以及全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，正確證明△DAE∽△DEN是關鍵．