如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,ctgA=
(1)當∠PBC=∠A時,求AP的長.
(2)點O是BP上一點,且⊙O與邊AB、AC都相切,設AP=x,⊙O的半徑為y,求y與x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.
(3)在(2)中,⊙O與邊BC也相切時,試判斷sinA與的大小,并說明你的理由.

【答案】分析:(1)由勾股定理、余切三角函數(shù)的定義求得線段AC的長度,通過相似三角形△PBC∽△BAC是對應邊成比例求得PC的長度;然后根據(jù)圖形中線段間的和差關系來求AP的長度;
(2)設⊙O和AC,AB分別相切于點D、E,連接OD、OE.根據(jù)切線長定理和勾股定理求y與x的函數(shù)解析式;
(3)根據(jù)三角形內(nèi)切圓的定義判定BP是∠CBA的平分線;然后由角平分線性質定理、勾股定理以及平行線截線段成比例分別求得AP、OP的值.
解答:解:(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,ctgA=
=
又∵AB=10,AB2=AC2+BC2,
∴AC=8,BC=6.
∵∠PBC=∠A,∠PCB=∠BCA=90°,
∴△PBC∽△BAC,
=,即=
∴PC=,
∴AP=AC-PC=;

(2)如圖1,設⊙O和AC、AB分別相切于點D、E,連接OD、OE.連接AO并延長AO交BC于點H.則AH是∠BAC的平分線.
根據(jù)角平分線定理知,=,即=,
∴CH=
∵AC切⊙O于點D,
∴OD⊥AC;
又∵BC⊥AC,
∴OD∥BC.
在△PBC中,=,即=,則PD=
在△ACH中,=,即==,則y=(0<x<8);

(3)解:sinA>.理由如下:
如圖2,∵⊙O與邊AB、AC、BC都相切,
∴BP是∠CBA的平分線,
=,即=,則AP=5,CP=3.
∴在直角△BCP中,根據(jù)勾股定理知BP=3
∵AP=x,⊙O的半徑為y,y=
∴OD==2.
∵OD⊥AC,BC⊥AC,
∴OD∥BC,
=,即=,則OP=,
∴sinA====,
∴sinA>
點評:本題考查了圓的綜合題.其中涉及到的知識點有相似三角形的判定與性質、切線的性質、勾股定理以及二次函數(shù)的定義域.
練習冊系列答案
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(2)設AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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3
5
,則cos∠CBD的值是( �。�

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5
cm/s的速度運動,在折線DE-EB上以1cm/s的速度運動.當點P與點A不重合時,過點P作PQ⊥AC于點Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點M落在線段AC上.設點P的運動時間為t(s).
(1)當點P在線段DE上運動時,線段DP的長為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當點N落在AB邊上時,求t的值.
(3)當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時,設五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關系式.

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