Question

（2012•寧波模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y₁=ax²+3x+c的圖象經過原點及點A（1，2），與x軸相交于另一點B．
（1）求：二次函數y₁的解析式及B點坐標；
（2）若將拋物線y₁以x=3為對稱軸向右翻折后，得到一個新的二次函數y₂，已知二次函數y₂與x軸交于兩點，其中右邊的交點為C點．點P在線段OC上，從O點出發(fā)向C點運動，過P點作x軸的垂線，交直線AO于D點，以PD為邊在PD的右側作正方形PDEF（當P點運動時，點D、點E、點F也隨之運動）；
①當點E在二次函數y₁的圖象上時，求OP的長．
②若點P從O點出發(fā)向C點做勻速運動，速度為每秒1個單位長度，同時線段OC上另一個點Q從C點出發(fā)向O點做勻速運動，速度為每秒2個單位長度（當Q點到達O點時停止運動，P點也同時停止運動）．過Q點作x軸的垂線，與直線AC交于G點，以QG為邊在QG的左側作正方形QGMN（當Q點運動時，點G、點M、點N也隨之運動），若P點運動t秒時，兩個正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上的邊除外），求此刻t的值．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數y₁=ax²+3x+c的圖象經過原點及點A（1，2），分別代入求出a，c的值即可；
（2）①過A點作AH⊥x軸于H點，根據DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進而求出OP的長；
②分別利用當點F、點N重合時，當點F、點Q重合時，當點P、點N重合時，當點P、點Q重合時，求出t的值即可．

解答：解：（1）∵二次函數y₁=ax²+3x+c的圖象經過原點及點A（1，2），
∴將（0，0），代入得出：
c=0，
將（1，2）代入得出：
a+3=2，
解得：a=-1，
故二次函數解析式為：y₁=-x²+3x，
∵圖象與x軸相交于另一點B，
∴0=-x²+3x，
解得：x=0或3，
則B（3，0）；

（2）①由已知可得C（6，0）
如圖：過A點作AH⊥x軸于H點，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴

OP

PD

=

OH

AH

，
即

a

PD

=

1

2

，
∴PD=2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函數y₁=-x²+3x的圖象上，
∴a=

7

9

；
即OP=

7

9

．

②如圖1：

當點F、點N重合時，有OF+CN=6，
∵直線AO過點（1，2），
故直線解析式為：y=2x，
當OP=t，
則AP=2t，
∵直線AC過點（1，2），（6，0），
代入y=ax+b，

a+b=2 6a+b=0

，
解得：

a=- 2 5 b= 12 5

，
故直線AC的解析式為：y=-

2

5

x+

12

5

，
∵當OP=t，QC=2t，
∴QO=6-2t，
∴GQ=-

2

5

（6-2t）+

12

5

=

4

5

t，
即NQ=

4

5

t，
∴OP+PN+NQ+QC=6，
則有3t+2t+

4

5

t=6，
解得：t=

30

29

；
如圖2：

當點F、點Q重合時，有OF+CQ=6，則有3t+2t=6，
解得：t=

6

5

；
如圖3：

當點P、點N重合時，有OP+CN=6，則有t+2t+

4

5

t=6，
解得：t=

30

19

，
如圖4：

當點P、點Q重合時，有OP+CQ=6，則有t+2t=6，
解得：t=2．
故此刻t的值為：t₁=

30

29

，t₂=

6

5

，t₃=

30

19

，t₄=2．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質以及待定系數法求解析式，根據已知結合圖象分類討論得出t的值是解題關鍵．