在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)
的圖象經(jīng)過點(diǎn)
和點(diǎn)
,直線
經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)且與
軸垂直,垂足為
.
【小題1】求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
【小題2】設(shè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)
處出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動(dòng),其縱坐標(biāo)
隨時(shí)間
≥
)的變化規(guī)律為
.現(xiàn)以線段
為直徑作
.
①當(dāng)點(diǎn)在起始位置點(diǎn)
處時(shí),試判斷直線
與
的位置關(guān)系,并說明理由;在點(diǎn)
運(yùn)動(dòng)的過程中,直線
與
是否始終保持這種位置關(guān)系? 請(qǐng)說明你的理由;
②若在點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí),直線
也向上平行移動(dòng),且垂足
的縱坐標(biāo)
隨時(shí)間
的變化規(guī)律為
,則當(dāng)
在什么范圍內(nèi)變化時(shí),直線
與
相交? 此時(shí),若直線
被
所截得的弦長(zhǎng)為
,試求
的最大值.
【小題1】將點(diǎn)和點(diǎn)
的坐標(biāo)代入,得
,解得
,
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為
【小題1】①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)
處時(shí),直線
與
相切,理由如下:
∵點(diǎn),∴圓心的坐標(biāo)為
,∴
的半徑為
,
又拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),即直線l上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為-1,從而圓心C到直線l的距離為,∴直線
與
相切.
在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中,直線
與
始終保持相切的位置關(guān)系,理由如下:
方法一: 設(shè)點(diǎn),則圓心的坐標(biāo)為
,∴圓心C到直線l的距離為
,又∵
,∴
,則
的半徑為
,
∴直線與
始終相切.
方法二: 設(shè)點(diǎn)≥1),則圓心的坐標(biāo)為
,
∴的半徑為
,
而圓心C到直線l的距離為,
∴直線與
始終相切
②由①知,圓C的半徑為.
又∵圓心C的縱坐標(biāo)為,直線l上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
,所以
(ⅰ)當(dāng)≥
,即
≤
時(shí),圓心C到直線l的距離為
,則由
,得
,解得
,
∴此時(shí)≤
;
(ⅱ)當(dāng)<
,即
>
時(shí),圓心C到直線l的距離為
,則由
,得
,解得
,
∴此時(shí)<
;
綜上所述,當(dāng)時(shí),直線
與
相交.
(說明: 若學(xué)生就寫成≤
或
<
,得全分;若學(xué)生依據(jù)直觀,只考慮圓心C在直線l下方的情況,解出
后,就得
,也給全分)
∵當(dāng)時(shí),圓心C到直線l的距離為
,又半徑為
,
∴,
∴當(dāng)時(shí),
取得最大值為
.
解析【小題1】所求函數(shù)的解析式中有兩個(gè)待定系數(shù),直接將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解.
【小題1】①由于OP是⊙C的直徑,根據(jù)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)可表示出C點(diǎn)的縱坐標(biāo),進(jìn)而能表示出C到直線l的距離;OP長(zhǎng)易得,然后通過比較⊙C的半徑和C到直線l的距離,即可判定直線l與⊙C的位置關(guān)系.
②該題要分兩問來答,首先看第一問;該小題的思路和①完全一致,唯一不同的地方:要注意直線l與點(diǎn)C的位置關(guān)系(需要考慮到C到直線l的表達(dá)方式).
在第二問中,a2最大,那么a最大,即直線l被⊙C截得的弦最長(zhǎng)(為直徑),此時(shí)圓心C應(yīng)在直線l上,根據(jù)該思路即可得解.
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