Question

已知：如圖，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點， 交BD于點G，交AB于點F．

(1)求證：AC與⊙O相切；

(2)當BD＝2，sinC＝時，求⊙O的半徑．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連接OE　　1分 　　∵AB＝BC且D是BC中點 　　∴BD⊥AC 　　∵BE平分∠ABD 　　∴∠ABE＝∠DBE 　　∵OB＝OE 　　∴∠OBE＝∠OEB 　　∴∠OEB＝∠DBE 　　∴OE∥BD 　　∴OE⊥AC 　　∴AC與⊙O相切　　2分 　　(2)∵BD＝2，sinC＝，BD⊥AC 　　∴BC＝4　　3分 　　∴AB＝4 　　設⊙O的半徑為r，則AO＝4－r 　　∵AB＝BC 　　∴∠C＝∠A 　　∴sinA＝sinC＝ 　　∵AC與⊙O相切于點E， 　　∴OE⊥AC 　　∴sinA＝＝＝　　4分 　　∴r＝　　5分