Question

如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，E，F(xiàn)，O分別是AB，CD，AD的中點，以O(shè)為圓心，以O(shè)E為半徑畫弧EF．P是

EF

上的一個動點，連接OP，并延長OP交線段BC于點K，過點P作⊙O的切線，分別交射線AB于點M，交直線BC于點G．若

BG

BM

=4，則BK﹦

3

4

或

9

4

．

Answer 1

分析：此題可以分別從若OP的延長線與射線AB的延長線相交于H與若OP的延長線與射線DC的延長線相交于H去分析，利用切線與正方形的性質(zhì)，可求得∠H-∠BGM，然后根據(jù)三角函數(shù)的知識，求得AH的長，繼而可得BK的長．注意不要漏解．

解答：解：（1）若OP的延長線與射線AB的延長線相交，設(shè)交點為H．如圖1，
∵MG與⊙O相切，
∴OK⊥MG．
∴KPG=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠HBK=90°，
∵∠BKH=∠PKG，
∴∠MGB=∠BHK．
∵

BG

BM

=4，
∴tan∠BHK=tan∠BGM=

BM

BG

=

1

4

．
∵tan∠BHK=

AO

AH

，
∵O是AD的中點，
∴AO=

3

2

，
∴AH=4AO=4×

3

2

=6，
∴BH=4BK．
∵AB=3，
∴BH=AH-AB=6-3=3，
∴BK=

1

4

×3=

3

4

．

（2）若OP的延長線與射線DC的延長線相交，設(shè)交點為H．如圖2，
同理可求得BK=

9

4

．
綜上可得：BK=

3

4

或

9

4

．
故答案為：

3

4

或

9

4

．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)以及三角函數(shù)的知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，利用分類討論思想求解，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．