Question

如圖，已知⊙O₂交⊙O₁于A、B兩點，且過⊙O₁的圓心O₁，AC是⊙O₁的弦，直線CB交⊙O₂于點D（異于A、B）．求證：DO₁⊥AC．

Answer 1

證明：連接AD，AO₁，CO₁，BO₁；
∵AO₁=BO₁，
∴弧AO₁=弧BO₁，∠ADO₁=∠BDO₁；
在⊙O₁中，CO₁=BO₁，
∴∠O₁CB=∠O₁BC；
∵A，B，D，O₁四點共圓，
∴∠O₁BC=∠O₁AD=∠O₁CB；
∵O₁D=O₁D，∠O₁AD=∠O₁CB，∠ADO₁=∠BDO₁，
∴△CDO₁≌△ADO₁；
∴AD=CD，∠ADO₁=∠CDO₁；
∴DO₁⊥AC．
分析：連接AD，AO₁，CO₁，BO₁；由于AO₁=BO₁，則在⊙O₂中：弧AO₁=弧BO₁，由圓周角定理知∠ADO₁=∠BDO₁；在⊙O₁中，CO₁=BO₁，由等邊對等角知，∠O₁CB=∠O₁BC；由于A，B，D，O₁四點共圓，根據圓內接四邊形的性質知，∠O₁BC=∠O₁AD=∠O₁CB；
由AAS可證得△CDO₁≌△ADO₁，則AD=CD，DO₁為等腰△ACD的頂角平分線；由等腰三角形的性質：頂角的平分線與底邊上的高重合知，DO₁⊥AC．
點評：本題主要考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質等知識，綜合性較強，難度較大．