已知:等邊△ABC的邊長為a.
探究(1):如圖1,過等邊△ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成△MNG,求證:△MNG是等邊三角形且MN=
3
a;
探究(2):在等邊△ABC內取一點O,過點O分別作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA,垂足分別為點D、E、F.
①如圖2,若點O是△ABC的重心,我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質得到兩個正確結論(不必證明):結論1. OD+OE+OF=
3
2
a;結論2. AD+BE+CF=
3
2
a;
②如圖3,若點O是等邊△ABC內任意一點,則上述結論1,2是否仍然成立?如果成立,請給予證明;如果不成立,請說明理由.
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分析:(1)本題中△ABC為等邊三角形,AB=BC=a,∠ABC=60°,求出∠N,∠G的值,在直角△AMB、△CNB中,可以先用a表示出MB,NB然后再表示出MN,這樣就能證得MN=
3
a;
(2)判定①是否成立可通過構建直角三角形,把所求的線段都轉化到直角三角形中進行求解;
判斷②是否成立,也要通過構建直角三角形,可根據(jù)勾股定理,把所求的線段都表示出來,然后經(jīng)過化簡得出結論②是否正確.
解答:(1)證明:如圖1,∵△ABC為等邊三角形,
∴∠ABC=60°.
∵BC⊥MN,BA⊥MG,
∴∠CBM=∠BAM=90°.
∴∠ABM=90°-∠ABC=30°.
∴∠M=90°-∠ABM=60°.
同理:∠N=∠G=60°.
∴△MNG為等邊三角形.
在Rt△ABM中,BM=
AB
sinM
=
a
sin60°
=
2
3
3
a,
在Rt△BCN中,BN=
BC
tanN
=
a
tan60°
=
3
3
a,
∴MN=BM+BN=
3
a.

(2)②:結論1成立.
證明:如圖3,過點O作GH∥BC,分別交AB、AC于點G、H,過點H作HM⊥BC于點M,
∴∠DGO=∠B=60°,∠OHF=∠C=60°,
∴△AGH是等邊三角形,
∴GH=AH.
∵OE⊥BC,
∴OE∥HM,精英家教網(wǎng)
∴四邊形OEMH是矩形,
∴HM=OE.
在Rt△ODG中,OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=
3
2
OG,
在Rt△OFH中,OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=
3
2
OH,
在Rt△HMC中,HM=HC•sinC=HC•sin60°=
3
2
HC,
∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=
3
2
OG+
3
2
HC+
3
2
OH
=
3
2
(GH+HC)=
3
2
AC=
3
2
a.

(2)②:結論2成立.精英家教網(wǎng)
證明:如圖4,連接OA、OB、OC,根據(jù)勾股定理得:
BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①,
CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②,
AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③,
①+②+③得:BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2,
∴BE2+CF2+AD2=(a-AD)2+(a-BE)2+(a-CF)2=a2-2AD•a+AD2+a2-2BE•a+BE2+a2-2CF•a+CF2
整理得:2a(AD+BE+CF)=3a2
∴AD+BE+CF=
3
2
a.
點評:本題中綜合考查了等邊三角形的判定和性質,解直角三角形等知識點,由于知識點比較多,本題的難度比較大.
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如圖1,當AD1=BE1=CF1=
1
2
AB時,我們容易得到△D1E1F1是等邊三角形,且SAD1F1=S△D1E1F1=
1
4
S.
探究論證:
(1)如圖2,當AD2=BE2=CF2=
1
3
AB時,
①△D2E2F2
等邊
等邊
三角形(填寫“等腰”或“等邊”或“不等邊”);
SAD2F2=
2
9
S
2
9
S
S△D2E2F2=
1
3
S
1
3
S
(用含S的代數(shù)式表示);
③請說明以上結論的正確性.
猜想發(fā)現(xiàn):
(2)如圖3,當ADn=BEn=CFn=
1
n+1
AB時,
①△DnEnFn
等邊
等邊
三角形(填寫“等腰”或“等邊”或“不等邊”);
S△ADnFn=
n
(n+1)2
S
n
(n+1)2
S
;S△DnEnFn=
n2-n+1
(n+1)2
S
n2-n+1
(n+1)2
S
(用含S的代數(shù)式表示).
實際應用:
(3)學校有一塊面積為49m2的等邊△ABC空地,按如圖4所示分割,其中AD6=BE6=CF6=
1
7
AB,計劃在△D6E6F6內栽種花卉,其余地方鋪草坪,則栽種花卉(即陰影部分)的面積為多少m2?

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(1)請寫出線段MN從出發(fā)到終止所需要的時間t;
(2)線段MN在運動的過程中,x為何值時,四邊形MNQP恰為矩形?
(3)線段MN在運動的過程中,設四邊形MNQP的面積為S,運動的時間為x.求四邊形MNQP的面積S隨運動時間x變化的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍.

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②如圖3,若點O是等邊△ABC內任意一點,則上述結論1,2是否仍然成立?如果成立,請給予證明;如果不成立,請說明理由.

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