Question

已知：拋物線y=ax²+bx與x鈾的一個交點為B，頂點A在直線y=

3

x上，O為坐標(biāo)原點．
（1）證明：△OAB為等邊三角形；
（2）若△OAB的內(nèi)切圓半徑為1，求出拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使△POB是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線OA的斜率不難得到∠AOB=60°，根據(jù)拋物線的對稱性可知AB=OA，由此得證．
（2）由于拋物線的開口方向不確定，因此分a＞0和a＜0兩種情況求解．以a＜0為例說明：
可設(shè)三角形AOB的內(nèi)心為I，過A作AC⊥OB，則I必在AC上，連接IO，在構(gòu)建的直角三角形IOC中，∠IOC=30°，已知了IC=1，即可求出OC和IO的長，也就能求出B點和A點的坐標(biāo)，然后將這兩點坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．（a＞0時，解法完全相同）．
（3）如果△POB是直角三角形，那么如果過P作x軸的垂線，根據(jù)射影定理即可得出P點縱坐標(biāo)絕對值的平方等于P點橫坐標(biāo)絕對值和P、B兩點橫坐標(biāo)差的絕對值的乘積．然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點坐標(biāo)．

解答：（1）證明：作AC⊥OB于點C；
∵點A在直線y=

3

x上，設(shè)A（x，

3

x）．
在直角三角形OAC中，tan∠AOC=

AC

OC

=

3 |x|

|x|

=

3

，
∴∠AOC=60°
由拋物線的對稱性可知：OA=AB，
∴△AOB為等邊三角形．

（2）解：當(dāng)a＜0時，設(shè)△AOB的內(nèi)心為I，則∠IOC=30°，在直角三角形IOC中，
∵IC=1，OC=

3

．
∴拋物線的對稱軸x=-

b

2a

=

3

，
∴a=-1，b=2

3

．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2

3

x．
當(dāng)a＞0時，同法可求，另一條拋物線的解析式為y=x²+2

3

x．

（3）解：易知：拋物線與x軸的兩交點為O（0，0），B（-

b

a

，0）．
且頂點A（-

b

2a

，-

b2

4a

）在直線y=

3

x上，
∴-

b2

4a

=

3

（-

b

2a

），
解得b=2

3

，b=0（舍去）．
∴B（-

2 3

a

，0）
拋物線的解析式為y=ax²+2

3

x．
假設(shè)存在符合條件的點P（m，n）．
過點P做PD⊥OB于D，則根據(jù)射影定理有：
PD²=OD•BD；
由題意知：y=ax²+2

3

x，
∴

n2=m(- 2 3 a -m) n=am2+2 3 m

，
解得：

m= - 3 + 2 a n=- 1 a

，

m= - 3 - 2 a n=- 1 a

，
∴存在符合條件的P點，且坐標(biāo)為：P（

- 3 + 2

a

，-

1

a

）或（

- 3 - 2

a

，-

1

a

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了等邊三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、三角形內(nèi)心等知識點．綜合性強，難度較大．