Question

（2012•荊州）如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)E，連接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=

1

3

，A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；
（3）試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜t≤3）時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知A、D、E三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式，進(jìn)而能得到頂點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）過(guò)B作BM⊥y軸于M，由A、B、E三點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷出△BME、△AOE都為等腰直角三角形，易證得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圓的直徑，因此只需證明AB與CB垂直即可．BE、AE長(zhǎng)易得，能求出tan∠BAE的值，結(jié)合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此證得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此題得證．
（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=

1

3

，即AE=3BE，若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，那么該三角形必須滿足兩個(gè)條件：①有一個(gè)角是直角、②兩直角邊滿足1：3的比例關(guān)系；然后分情況進(jìn)行求解即可．
（4）過(guò)E作EF∥x軸交AB于F，當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在EF之間時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分是個(gè)四邊形；當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)右側(cè)時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分是個(gè)三角形．按上述兩種情況按圖形之間的和差關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：（1）解：由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a（x-3）（x+1）．
將E（0，3）代入上式，解得：a=-1．
∴y=-x²+2x+3．
則點(diǎn)B（1，4）．

（2）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥y于點(diǎn)M，則M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE=

OA2+OE2

=3

2

．
在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=

EM2+BM2

=

2

．
∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．
∴AB是△ABE外接圓的直徑．
在Rt△ABE中，tan∠BAE=

BE

AE

=

1

3

=tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圓的切線．

（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=

1

3

，sin∠BAE=

10

10

，cos∠BAE=

3 10

10

；
若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形；
①DE為斜邊時(shí)，P₁在x軸上，此時(shí)P₁與O重合；
由D（-1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO=

1

3

=tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE
滿足△DEO∽△BAE的條件，因此 O點(diǎn)是符合條件的P₁點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，0）．
②DE為短直角邊時(shí)，P₂在x軸上；
若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則∠DEP₂=∠AEB=90°，sin∠DP₂E=sin∠BAE=

10

10

；
而DE=

12+32

=

10

，則DP₂=DE÷sin∠DP₂E=

10

÷

10

10

=10，OP₂=DP₂-OD=9
即：P₂（9，0）；
③DE為長(zhǎng)直角邊時(shí)，點(diǎn)P₃在y軸上；
若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則∠EDP₃=∠AEB=90°，cos∠DEP₃=cos∠BAE=

3 10

10

；
則EP₃=DE÷cos∠DEP₃=

10

÷

3 10

10

=

10

3

，OP₃=EP₃-OE=

1

3

；
綜上，得：P₁（0，0），P₂（9，0），P₃（0，-

1

3

）．

（4）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
將A（3，0），B（1，4）代入，得

3k+b=0 k+b=4

，解得

k=-2 b=6

．
∴y=-2x+6．
過(guò)點(diǎn)E作射線EF∥x軸交AB于點(diǎn)F，當(dāng)y=3時(shí)，得x=

3

2

，∴F（

3

2

，3）．
情況一：如圖2，當(dāng)0＜t≤

3

2

時(shí)，設(shè)△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于點(diǎn)H，MN交AE于點(diǎn)S．
則ON=AG=t，過(guò)點(diǎn)H作LK⊥x軸于點(diǎn)K，交EF于點(diǎn)L．
由△AHG∽△FHM，得

AG

FM

=

HK

HL

，即

t

3 2 -t

=

HK

3-HK

．
解得HK=2t．
∴S_陰=S_△MNG-S_△SNA-S_△HAG=

1

2

×3×3-

1

2

（3-t）²-

1

2

t•2t=-

3

2

t²+3t．
情況二：如圖3，當(dāng)

3

2

＜t≤3時(shí)，設(shè)△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于點(diǎn)I，交AE于點(diǎn)V．
由△IQA∽△IPF，得

AQ

FP

=

IQ

IP

．即

3-t

t- 3 2

=

IQ

3-IQ

，
解得IQ=2（3-t）．
∵AQ=VQ=3-t，
∴S_陰=

1

2

IV•AQ=

1

2

（3-t）²=

1

2

t²-3t+

9

2

．
綜上所述：s=

- 3 2 t2+3t(0＜t≤ 3 2 ) 1 2 t2-3t+ 9 2 ( 3 2 ＜t≤3)

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、切線的判定、相似三角形的判定、圖形面積的解法等重點(diǎn)知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度系數(shù)較大．此題的難點(diǎn)在于后兩個(gè)小題，它們都需要分情況進(jìn)行討論，容易出現(xiàn)漏解的情況．在解答動(dòng)點(diǎn)類的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，一定不要遺漏對(duì)應(yīng)的自變量取值范圍．