Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分別是AB、BC的中點，EF與BD相交于點M
（1）求證：

DM

BM

=

DE

BF

；
（2）若BD=9，求BM的長．

Answer 1

分析：（1）由E為AB中點，得到AB=2EB，又AB=2DC，等量代換得到DC=EB，又DC與EB平行，根據一對對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得DCBE為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行可得FB與DE平行，由兩直線平行得兩對內錯角相等，從而根據兩對對應角相等的兩三角形相似可得三角形EDM與三角形FMB相似，根據相似得比例可得證；
（2）由F為BC的中點，得到BC=2FB，又由（1）得到的四邊形BCDE為平行四邊形，可得對邊BC=ED，等量代換可得DE=2FB，由（1）得到的三角形EDM與三角形FMB相似，可得相似比為2：1，即得到DM：MB=2：1，設出DM=2k與MB=k，根據BD的長列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而得到BM的長．

解答：（1）證明：∵E是AB的中點，
∴AB=2EB，又AB=2CD，
∴DC=EB，又DC∥EB，
∴四邊形DCBE為平行四邊形，
∴FB∥DE，
∴∠BFM=∠DEM，∠FBM=∠EDM，
∴△FMB∽△EMD，
∴

DM

BM

=

DE

BF

；

（2）解：由F為BC的中點，得到BC=2FB，
又四邊形DCBE為平行四邊形，得到DE=BC，
則DE=2FB，即FB：DE=1：2，
∴△FMB與△EMD的相似比為1：2，
即DM：MB=2：1，又BD=9，
設DM=2k，MB=k，
所以BD=BM+MD=k+2k=9，解得k=3，
則BM=3．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，以及比例的性質，要證明比例問題常常把各邊放入兩三角形中，利用相似解決問題，證明相似的方法有：兩對對應邊相等的兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似；三邊對應成比例的兩三角形相似等，此外學生在做第二問時要注意借助已證的結論．