Question

如圖，點O是坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標為（-3，4），點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點M，AB邊交y軸于點H．
（1）求B、C兩點坐標；
（2）拋物線y=x²-bx+c經過A、O兩點，求拋物線的解析式，并驗證點C是否在拋物線上；
（3）在x軸上是否存在一點P，使△PCM與△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在菱形ABCO中，OA=AB=BC=CO，AB∥OC，
所以，∠AHO=∠COH=90°，
∵點A的坐標為（-3，4），
∴OH=4，AH=3，
在Rt△AOH中，OA===5，
∴BH=5-3=2，
∴B（2，4）、C（0，5）；

（2）把點A（-3，4）、O（0，0）代入拋物線解析式中得，
，
解得，
所以，拋物線的解析式為y=x²-x，
當x=5時，y=×5²-×5=0，
所以點C（5，0）在拋物線上；

（3）存在．理由如下：
在菱形ABCO中，AB∥OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∠AHO=∠COH=90°，
∴△AMH∽△CMO，
∴==，
∵OH=4，
∴OM=OH=2.5，
①過M作MP₁∥BC交x軸于P₁，
則∠CMP₁=∠BCA，
∵∠BAC=∠OCA，
∴△CMP₁∽△ACB，
在菱形ABCO中，∠ACB=∠ACO，
∴∠CMP₁=∠ACO，
設OP₁=m，則MP₁=5-m，（m＞0）
∴在Rt△MP₁O中，
MP₁²=OP₁²+OM²，
即（5-m）²=m²+2.5²，
解得m=1.875，
所以P₁（1.875，0），
②截取OP₂=OC=5，
∵OM⊥x軸，
∴MP₂=MC，
∴∠MP₂C=∠MCP₂，
由上知：∠MP₂C=∠MCP₂=∠ACB=∠BAC，
∴△CP₂M∽△ACB，
此時P₂（-5，0），
綜上所述，P點有兩個，坐標為（1.875，0）和（-5，0）．
分析：（1）根據菱形的對邊平行可得AB∥OC，然后求出∠AHO=∠COH=90°，在根據點A的坐標求出OH、AH的長度，然后利用勾股定理列式計算求出OA的長度，再求出BH的長度即可得到點B的坐標，根據菱形的邊OC的長度可得點C的坐標；
（2）把點A、O的坐標代入拋物線解析式，解方程組求出b、c的值，即可得到拋物線解析式；然后把點C的坐標代入拋物線解析式，符合則點C在拋物線上；
（3）根據菱形的性質判定△AMH和△CMO相似，然后根據相似三角形對應邊成比例列式求出MH與MO的比值，再根據OH的長度求出OM的長度，根據菱形的性質，△ABC是等腰三角形，所以①過點M作MP₁∥BC交x軸于P₁，利用兩組角對應相等，兩三角形相似可得△CMP₁和△ACB相似，然后設OP₁=m，表示出MP₁，再利用勾股定理列出方程求解得到m的值，即可得到點P的坐標；②截取OP₂=OC=5，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得MP₂=MC，再根據等邊對等角的性質以及菱形的性質可得∠MP₂C=∠MCP₂=∠ACB=∠BAC，然后得到△CP₂M和△ACB相似，然后寫出點P的坐標即可．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了菱形的性質，勾股定理的應用，待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的判定，（3）因為相似三角形對應邊不確定，所以要分情況討論求解．