解:(1)∵拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/187865.png)
經(jīng)過(guò)A(-4,0),B(0,-4),
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/565728.png)
,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/280630.png)
,
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
x
2+x-4;
(2)∵點(diǎn)P(a,y
1),Q(a-1,y
2)都在該拋物線上,
∴y
1-y
2=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
a
2+a-4)-[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
(a-1)
2+(a-1)-4]=a+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
.
當(dāng)a+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
>0,即-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
<a<0時(shí),y
1>y
2,
當(dāng)a+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
=0,即a=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
時(shí),y
1=y
2,
當(dāng)a+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
<0,即a<-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
時(shí),y
1<y
2;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5364601ac2749.png)
(3)如圖.
∵△ACQ是以AC為斜邊的直角三角形,
∴點(diǎn)Q在以AC為直徑的圓上.
設(shè)AC的中點(diǎn)為D,則⊙D的直徑為AC.
∵拋物線y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
x
2+x-4與x軸交于點(diǎn)A、C,且A(-4,0),
解方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
x
2+x-4=0,得x=-4或2,
∴C(2,0),
∴AC=6,⊙D的半徑為3,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,0).
連接DQ,當(dāng)α最大時(shí),PQ為⊙D的切線,∠PQD=90°,DQ=3.
在△PQD中,∵∠PQD=90°,DQ=3,PD=-1-(-6)=5,
∴PQ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/565729.png)
=4.
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E.
∵sin∠QPE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/314922.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/565730.png)
,cos∠QPE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/257738.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/558451.png)
,
∴QE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/565731.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/298427.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
,PE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/565732.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1086.png)
,
∴OE=OP-PE=6-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1086.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1071.png)
.
當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時(shí),Q(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1071.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
);
當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限時(shí),Q(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1071.png)
,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
).
綜上可知,當(dāng)α最大時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1071.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
)或(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1071.png)
,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
).
分析:(1)將A(-4,0),B(0,-4)代入拋物線的解析式
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/187865.png)
,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解;
(2)先將P,Q的坐標(biāo)代入(1)的拋物線解析式中,可得出y
1、y
2的表達(dá)式,計(jì)算y
1-y
2,然后看得出的結(jié)果中在x的不同取值范圍下,y
1、y
2的大小關(guān)系;
(3)先由△ACQ是以AC為斜邊的直角三角形,得出點(diǎn)Q在以AC為直徑的圓D上;再解方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
x
2+x-4=0,得到C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),則⊙D的半徑為3,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,0);再連接DQ,當(dāng)α最大時(shí),得到PQ為⊙D的切線,由切線的性質(zhì)得到∠PQD=90°,根據(jù)勾股定理求出PQ=4;過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E,然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求出QE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
,PE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1086.png)
,進(jìn)而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo),注意點(diǎn)Q可以在第二象限,也可以在第三象限.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),圓周角定理,勾股定理,切線的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義,綜合性較強(qiáng),有一定難度.運(yùn)用差比法比較兩個(gè)代數(shù)式的大小是一種常用的方法;(3)中根據(jù)圓周角定理得出點(diǎn)Q在以AC為直徑的圓D上及根據(jù)切線的性質(zhì)得出當(dāng)α最大時(shí),PQ為⊙D的切線是解題的關(guān)鍵.