Question

（2013•莒南縣二模）已知直線(xiàn)y=2x+2與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C（2，0）作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)，垂足為D．
（1）求直線(xiàn)CD的解析式；
（2）求點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離；
（3）推廣：若已知直線(xiàn)y=k₁x+b₁和直線(xiàn)y=k₂x+b₂互相垂直，請(qǐng)猜想直線(xiàn)常數(shù)k₁、k₂之間的關(guān)系．只寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需證明．

Answer 1

分析：（1）如圖直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為y=2x+2，即tan∠1=2，與直線(xiàn)AB垂直的直線(xiàn)CD的函數(shù)解析式為y=kx+b，即tan（180°-∠2）=k，所以利用正切三角函數(shù)的定義求得k的值，且C（2，0）代入方程，即可得出．
（2）由（1）的解答過(guò)程可以得到CD的長(zhǎng)度；
（3）根據(jù)（1）中的兩直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式，得出k₁•k₂的值．

解答：解：（1）如圖，∵直線(xiàn)AB的解析式為y=2x+2，
∴易求A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
∴在直角△AOB中，tan∠1=

OB

OA

=2．即OB=2OA．
∵AB⊥CD，
∴tan∠1=

CD

AD

=2，
∴tan∠2=

AD

DC

=

1

2

，
∴tan（180°-∠2）=-tan∠2=-

1

2

．
故設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為：y=-

1

2

x+b．
又∵C（2，0），
∴0=-

1

2

×2+b．
解得，b=1，
則直線(xiàn)CD的解析式為：y=-

1

2

x+1；

（2）由（1）知，tan∠1=

CD

AD

=2，即CD=2AD，AC=3．
則在直角△ACD中，AC²=AD²+CD²，即9=5AD²，
解得，AD=

3 5

5

，
則CD=2AD=

6 5

5

；

（3）k₁•k₂=-1．理由如下：
由（1）知，由圖中圖象得到直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=2x+2，直線(xiàn)CD的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-

1

2

x+1
則k₁•k₂=2×（-

1

2

）=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．熟記一次函數(shù)圖象與幾何變換．互相垂直的兩條直線(xiàn)的斜率的乘積等于-1．