如圖1,等腰直角△ABC的頂點A,B的坐標分別為(0,10),(8,4),頂點C在第一象限.點P從點A出發(fā),沿△ABC的邊按逆時針方向勻速運動,同時,點O從點E(4,0)出發(fā),沿x軸正方向以相同速度運動.當點P到達點C時.P、Q兩點同時停止運動,設(shè)運動的時間為t秒,
(1)求AB邊的長及點C的坐標.
(2)當點P在AB邊上運動時,△OPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分(如圖2所示),求P、Q兩點的運動速度.
(3)求(2)中面積S(平方單位)與時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時點P的坐標.
(4)若點P、Q保持原速度不變,當點P沿著A→B→C勻速運動時,是否存在某時刻t(秒).使得OP=PQ,如果存在,請求出符合條件的t的值,若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)過點B作BM⊥y軸于點M,過點C作CN⊥MB的延長線于點N,由條件可以得出△AMB≌△BNC,根據(jù)A、B的坐標可以求出AM、BM的值,可以求出C的坐標,由勾股定理可以求出AB的值.
(2)由圖2可知,點P從A運動到B用了10秒,由行程問題的數(shù)量關(guān)系可以求出P、Q的運動速度.
(3)作PG⊥y軸于G,BF⊥y軸于F,如圖則PG∥BF,△AGP∽△AFB,利用相似三角形對應(yīng)線段成比例表示出三角形POQ的高,根據(jù)三角形的面積公式就可以求出(2)中面積S(平方單位)與時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式.然后轉(zhuǎn)化為頂點式就可以求出最值了.
(4)當P在AB 上時,若OP=PQ,如圖則作PH⊥x軸,有△AGP∽△AFB;當P在 BC上時,若OP=PQ過P作PH⊥x軸,過B作BF⊥y軸于F,交PH于M.有△PBM∽△BAF,有相似三角形的性質(zhì)就可以求出點P的坐標.
解答:解:(1)過點B作BM⊥y軸于點M,過點C作CN⊥MB的延長線于點N,
∴∠AMB=∠CNB=90°
∵點A,B的坐標分別為(0,10),(8,4),
∴MB=8,MO=4,AO=10,
∴AM=6,在Rt△AMB中,由勾股定理,得
AB=10
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴△AMB≌△BNC,
∴BN=AM=6,CN=BM=8,
∴MN=14,CN=8
∴C(14,12)

(2)由圖2可知,點P從A運動到B用了10秒
∵AB=10,10÷10=1,
∴P,Q兩點運動速度均為每秒1個單位.
(3)作PG⊥y軸于G,BF⊥y軸于F,如圖則PG∥BF,
∴△AGP∽△AFB,
,
∴GA=t,
∴OG=10-t,
∵OQ=4+t,
∴S=OQ×OG=(4+t)( 10-t)
即S=-
S=-(t2-t)+20
S=-(t-2+
∴當t=時,S有最大值,此時,GP=,OG=10-t=
∴P()  
(4)當P在AB 上時,若OP=PQ如圖則作PH⊥x軸,
于是OH=OQ=
∵△AGP∽△AFB
,OH=
=,t=
當P在 BC上時,若OP=PQ
過P作PH⊥x軸,過B作BF⊥y軸于F,交PH于M.
∵△PBM∽△BAF,OH=OQ=,PB=t-10,BA=10,AF=6,
,BM=(t-10),
∴8+(t-10)=,t=0(舍去),
∴綜上所述:當t=時,OP=PQ

點評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的運用,三角形的面積的運用,二次函數(shù)解析式的運用,坐標與圖象的性質(zhì)及動點問題的解答.
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(2)如圖2,等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)∠α,當0°<α<90°時,連接BE、DF,此時(1)中的結(jié)論是否成立,如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由.
(3)如圖3,等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)∠α,當α=90°時,連接BE、DF,猜想當AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時,直線DF垂直平分BE.請直接寫出結(jié)論.
(4)如圖4,等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)∠α,當90°<α<180°時,連接BD、DE、EF、FB得到四邊形BDEF,如果其對角線DF的長度為
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(2)若在旋轉(zhuǎn)過程中,兩直角邊的交點G、H始終在邊AB、CB上,AB=CB=4cm,在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形GBHD的面積是否不變,若不變,求出它的值,若變,求出它的取值范圍.
(3)當三角板DEF旋轉(zhuǎn)至圖2所示時,三角板DEF與AB、BC邊所在的直線相交于點G、H時,(1)的結(jié)論仍然成立嗎?并說明理由.

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