Question

如圖，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線，BC=4，CD=

3

2

，求AC的長．

Answer 1

分析：過點D作DE⊥AB于E，則△ADC≌△ADE，所以DE=CD=

3

2

，可得BD=

5

2

，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得BE=2，再在Rt△ABC中，設(shè)AE=AC=x，由勾股定理解得AE的值，即是AC的值．

解答：解：
過點D作DE⊥AB于E，
在△ADC和△ADE中

∠C=∠AED=90° ∠CAD=∠EAD AD=AD

∴△ADC≌△ADE（AAS），
∴DE=CD=

3

2

，AE=AC，
∴BD=4-

3

2

=

5

2

，
在Rt△BDE中，BE=

( 5 2 )2- ( 3 2 )2

=2，
在Rt△ABC中，設(shè)AE=AC=x，
x²+4²=（x+2）²，
解得x=3，
∴AC=3．

點評：此題主要考查角平分線的性質(zhì)和勾股定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，難度中等，作輔助線很關(guān)鍵．